1. 幾何布朗運動
一、正態隨機變數概率密度函數描述:
(μ為總體均數、σ為標准差)
二、布朗運動的數學描述:
價格時間函數P(x),T+t時刻的價格P(T+t)與T時刻價格P(T)的差值:P(T+t)-P(T)是一個正態隨機變數,分布的平均期望值μt,標准差為。(T>0,t>0)
重大缺陷:
1、按此價格理論上可有負值,但實際中價格不可能存在負值。
2、不論價格初值為何值,固定時間長度的價格差具有相同的正態分布,不符合常理。
三、幾何布朗運動:
把價格差改為價格的漲跌幅:可以避免直接使用布朗運動描述價格的缺陷,即為幾何布朗運動。
是一個正態隨機變數,分布的平均期望值μt,標准差為。(T>0,t>0)
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幾何布朗運動
幾何布朗運動的作用是用來模擬股價的變動。它的好處在於,一般形式布朗運動中取值可能為負數,而幾何布朗運動取值永遠不小於0,這一點符合股價永遠不為負的特徵。
幾何布朗運動微分形式的表述。或者稱SDE(隨機微分方程)形式:
其中的S(t)可以理解為股價。
幾何布朗運動函數形式表述:
上述式子告訴我們,可以先生成一服從的一般形式布朗運動,然後求其指數函數,最後乘以S(0),即期初的股價,就可以得到幾何布朗運動。
補充:為何這里t的系數多出一項?具體可以參考伊藤公式。
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