Ⅰ 期權期貨BS模型中N(d1)怎麼算
實際上b-s模型中的n(d1)和n(d2 )實際上指的是正態分布下的置信值
d1={ln(s/x)+[r+(σ^2)/2]*(t-t)}/[σ*(t-t)^0.5]，d2=d1-σ*(t-t)^0.5。利用相關數據先計算出d1和d2的值，然後利用正態分布表，找出對應的d1和d2所對應的置信值。
1.bs公式的原推導過程應用了偏微分方程和隨機過程中的幾何布朗運動性質（描述標的資產）和Ito公式，你要沒學過隨機和偏微估計只有火星人才能給你講懂。
2.你要是只是要得到那個形式，看一下二叉樹模型，二叉樹模型簡單易懂，自己就可以推導，且二叉樹模型取極限（時間劃分無限細）即為bs公式.
3.你要是真心要理解bs模型公式，我可以推薦一本書，姜禮尚的《期權定價的數學模型和方法》，老老實實從第一章看到第五章，只挑歐式期權看就夠了。
(1)股票價格對數正太分布公式擴展閱讀：
BS模型是由無風險套利的原則推導得來，其含義就是說如果某個權證的價格偏離了BS模型所計算的值，就有無風險套利的機會出現，而無風險套利的過程將使得權證的價格回歸至BS模型所計算的理論值。這里有一個理論基礎，即權證作為一種金融衍生產品，其完全可以通過持有一定標的證券和債券的形式復制出來，同時也完全可以通過相反的過程來對沖風險。
BS模型假設
（1）在期權壽命期內，買方期權標的股票不發放股利，也不做其他分配；
（2）股票或期權的買賣沒有交易成本；
（3）短期的無風險利率是已知的，並且在期權壽命期內保持不變；
（4）任何證券購買者能以短期的無風險利率借得任何數量的資金；
（5）允許賣空，賣空者將立即得到所賣空股票當天價格的資金；
（6）看漲期權只能在到期日執行；
（7）所有證券交易都是連續發生的，股票價格隨機遊走。
成立條件
任何一個模型都是基於一定的市場假設的，Black-Scholes模型的基本假設有以下幾點：
（1）無風險利率r是已知的，為一個常數，不隨時間的變化而改變
（2）標的證券為股票，正股價格S的變化符合隨機漫步，但這種隨機漫步能夠使股票的回報率成正態分布。
（3）標的股票不分紅
（4）期權為歐式期權，即到期日才能行權
（5）整個交易過程中，不存在交易費用，沒有印花稅
（6）對賣空沒有如保證金等任何限制，投資者可自由使用賣空所得資金
在我國，當標的證券分紅除息時，權證的行權價格也做相應的除息調整，因此不需要標的證券不分紅的假設。
Ⅱ 什麼是對數收益率
對數收益率是兩個時期資產價值取對數後的差額，即資產多個時期的對數收益率等於其各時期對數收益率之和。
衡量股票投資收益的水平指標主要有股利收益率與持有期收益率和拆股後持有期收益率等。
1、股利收益率
股利收益率，又稱獲利率，是指股份公司以現金形式派發的股息或紅利與股票市場價格的比率其計算公式為：
該收益率可用計算已得的股利收益率，也能用於預測未來可能的股利收益率。
2、持有期收益率
持有期收益率指投資者持有股票期間的股息收入和買賣差價之和與股票買入價的比率。其計算公式為：
股票還沒有到期日的，投資者持有股票時間短則幾天、長則為數年，持有期收益率就是反映投資者在一定持有期中的全部股利收入以及資本利得占投資本金的比重。
持有期收益率是投資者最關心的指標之一，但如果要將其與債券收益率、銀行利率等其他金融資產的收益率作一比較，須注意時間可比性，即要將持有期收益率轉化成年率。
3、持有期回收率
持有期回收率說的是投資者持有股票期間的現金股利收入和股票賣出價之和與股票買入價比率。本指標主要反映其投資回收情況，如果投資者買入股票後股價下跌或操作不當。
均有可能出現股票賣出價低於其買入價，甚至出現了持有期收益率為負值的情況，此時，持有期回收率能作為持有期收益率的補充指標，計算投資本金的回收比率。其計算公式為：
4、拆股後的持有期收益率
投資者在買入股票後，在該股份公司發放股票股利或進行股票分割（即拆股）的情況下，股票的市場的市場價格及其投資者持股數量都會發生變化。
因此，有必要在拆股後對股票價格及其股票數量作相應調整，以計算拆股後的持有期收益率。其計算公式為：(收盤價格-開盤價格)/開盤價格股票收益率的計算公式 股票收益率= 收益額 /原始投資額其中：收益額=收回投資額+全部股利-(原始投資額+全部傭金+稅款)
當股票未出賣時，收益額即為股利。
(2)股票價格對數正太分布公式擴展閱讀：
在投資決策時的股票收益率計算公式：
假設股票價格是公平的市場價格，證劵市場處於均衡狀態，在任一時點證劵的價格都能完全反映有關該公司的任何可獲得的公開信息，而且證劵價格對新信息能迅速做出反應。在這種假設條件下，股票的期望收益率等於其必要的收益率。
而股票的總收益率可以分為兩個部分：第一部分：D1/P0 這是股利收益率。解釋為預期（下一期）現金股利除以當前股價，那下一期股利如何算呢，D1=D0*(1+g)。第二部分是固定增長率g,解釋為股利增長率，由於g與股價增長速度相同，故此g可以解釋為股價增長率或資本利得收益率。
舉個例子來說明：股價20元，預計下一期股利1元，該股價將以10%速度持續增長
則：股票收益率=1/20+10%=15%
這個例子中的難點是10%，她就是g,g的數值可根據公司的可持續增長率估計，可持續增長率大家應該都知道了吧。g算出後，下一期股利1元也是由她算出的，公式上面已經列出。有了股票收益率15%，股東可作出決定期望公司賺取15%，則可購買。
Ⅲ 如果用matlab驗證股票的收盤價符合對數正態分布
先導入數據，然後取收盤價的對數值即y＝ln（y）
clc;clear
y=ln(y)
Std=std(y) %標准差
[F,XI]=ksdensity(y)
figure(1)
plot(XI,F,'o-')
x =randn(300000,1);
figure(2)
[f,xi] = ksdensity(x);
plot(xi,f);
畫出概率分布圖
ksdensity -------------------- Kernel smoothing density estimation.
表示核平滑密度估計
Ⅳ 期權、期貨及其他衍生產品的目錄
推薦序一
推薦序二
譯者序
作者簡介
譯者簡介
前言
第1章導言
1.1交易所市場
1.2場外市場
1.3遠期合約
1.4期貨合約
1.5期權合約
1.6交易員的種類
1.7對沖者
1.8投機者
1.9套利者
1.10危害
小結
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第2章期貨市場的運作機制
2.1背景知識
2.2期貨合約的規定
2.3期貨價格收斂到即期價格的特性
2.4每日結算與保證金的運作
2.5報紙上的報價
2.6交割
2.7交易員類型和交易指令類型
2.8制度
2.9會計和稅收
2.10遠期與期貨合約比較
小結
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第3章利用期貨的對沖策略
3.1基本原理
3.2擁護與反對對沖的觀點
3.3基差風險
3.4交叉對沖
3.5股指期貨
3.6向前滾動對沖
小結
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附錄3A最小方差對沖比率公式的證明
第4章利率
4.1利率的種類
4.2利率的測量
4.3零息利率
4.4債券價格
4.5國庫券零息利率的確定
4.6遠期利率
4.7遠期利率合約
4.8久期
4.9曲率
4.10利率期限結構理論
小結
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第5章遠期和期貨價格的確定
5.1投資資產與消費資產
5.2賣空交易
5.3假設與符號
5.4投資資產的遠期價格
5.5提供已知中間收入的資產
5.6收益率為已知的情形
5.7遠期合約的定價
5.8遠期和期貨價格相等嗎
5.9股指期貨價格
5.10貨幣的遠期和期貨合約
5.11商品期貨
5.12持有成本
5.13交割選擇
5.14期貨價格與預期即期價格
小結
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附錄5A利率為常數時遠期價格與期貨價格相等的證明
第6章利率期貨
6.1天數計算約定
6.2美國國債期貨
6.3歐洲美元期貨
6.4利用期貨基於久期的對沖
6.5對於資產與負債組合的對沖
小結
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第7章互換
7.1互換合約的機制
7.2天數計量慣例
7.3確認書
7.4比較優勢的觀點
7.5互換利率的實質
7.6確定LIBOR/互換零息利率
7.7利率互換的定價
7.8貨幣互換
7.9貨幣互換的定價
7.10信用風險
7.11其他類型的互換
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第8章期權市場的運作過程
8.1期權的類型
8.2期權頭寸
8.3標的資產
8.4股票期權的特徵
8.5交易
8.6傭金
8.7保證金
8.8期權結算公司
8.9監管規則
8.10稅收
8.11認股權證、雇員股票期權及可轉換證券
8.12場外市場
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第9章股票期權的性質
9.1影響期權價格的因素
9.2假設及記號
9.3期權價格的上限與下限
9.4看跌看漲平價關系式
9.5提前行使期權：無股息股票的看漲期權
9.6提前行使期權：無股息股票的看跌期權
9.7股息對於期權的影響
小結
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第10章期權交易策略
10.1包括單一期權與股票的策略
10.2差價
10.3組合策略
10.4具有其他收益形式的組合
小結
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第11章二叉樹簡介
11.1單步二叉樹模型與無套利方法
11.2風險中性定價
11.3兩步二叉樹
11.4看跌期權實例
11.5美式期權
11.6Delta
11.7選取u和d使二叉樹與波動率吻合
11.8增加二叉樹的時間步數
11.9對於其他標的資產的期權
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第12章維納過程和伊藤引理
12.1馬爾科夫性質
12.2連續時間隨機變數
12.3描述股票價格的過程
12.4參數
12.5伊藤引理
12.6對數正態分布的性質
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附錄12A伊藤引理的推導
第13章布萊克斯科爾斯默頓模型
13.1股票價格的對數正態分布性質
13.2收益率的分布
13.3預期收益率
13.4波動率
13.5布萊克斯科爾斯默頓微分方程的概念
13.6布萊克斯科爾斯默頓微分方程的推導
13.7風險中性定價
13.8布萊克斯科爾斯定價公式
13.9累積正態分布函數
13.10權證與雇員股票期權
13.11隱含波動率
13.12股息
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附錄13A布萊克斯科爾斯默頓公式的證明
第14章雇員股票期權
14.1合約的設計
14.2期權會促進股權人與管理人員的利益一致嗎
14.3會計問題
14.4定價
14.5倒填日期丑聞
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第15章股指期權與貨幣期權
15.1股指期權
15.2貨幣期權
15.3支付連續股息的股票期權
15.4歐式股指期權的定價
15.5貨幣期權的定價
15.6美式期權
小結
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第16章期貨期權
16.1期貨期權的特性
16.2期貨期權被廣泛應用的原因
16.3歐式即期期權和歐式期貨期權
16.4看跌看漲期權平價關系式
16.5期貨期權的下限
16.6採用二叉樹對期貨期權定價
16.7期貨價格在風險中性世界的漂移率
16.8對於期貨期權定價的布萊克模型
16.9美式期貨期權與美式即期期權
16.10期貨式期權
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第17章希臘值
17.1例解
17.2裸露頭寸和帶保頭寸
17.3止損交易策略
17.4Delta對沖
17.5Theta
17.6Gamma
17.7Delta、Theta和Gamma之間的關系
17.8Vega
17.9Rho
17.10對沖的現實性
17.11情景分析
17.12公式的推廣
17.13資產組合保險
17.14股票市場波動率
小結
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附錄17A泰勒級數展開和對沖參數
第
18章波動率微笑
18.1為什麼波動率微笑對看漲期權與看跌期權是一樣的
18.2貨幣期權
18.3股票期權
18.4其他刻畫波動率微笑的方法
18.5波動率期限結構與波動率曲面
18.6希臘值
18.7當預期會有單一的大跳躍時
小結
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附錄18A由波動率微笑來確定隱含風險中性分布
第19章基本數值方法
19.1二叉樹
19.2採用二叉樹來對股指、貨幣與期貨期權定價
19.3對於支付股息股票的二叉樹模型
19.4構造樹形的其他方法
19.5參數與時間有關的情形
19.6蒙特卡羅模擬法
19.7方差縮減過程
19.8有限差分法
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第20章風險價值度
20.1VaR測度
20.2歷史模擬法
20.3模型構建法
20.4線性模型
20.5二次模型
20.6蒙特卡羅模擬
20.7不同方法的比較
20.8壓力測試與回顧測試
20.9主成分分析法
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附錄20A現金流映射
第21章估計波動率和相關系數
21.1估計波動率
21.2指數加權移動平均模型
21.3GARCH(1，1)模型
21.4模型選擇
21.5極大似然估計法
21.6採用GARCH(1，1)模型來預測波動率
21.7相關系數
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第22章信用風險
22.1信用評級
22.2歷史違約概率
22.3回收率
22.4由債券價格來估計違約概率
22.5違約概率的比較
22.6利用股價來估計違約概率
22.7衍生產品交易中的信用風險
22.8信用風險的緩解
22.9違約相關性
22.10信用VaR
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第23章信用衍生產品
23.1信用違約互換
23.2信用違約互換的定價
23.3信用指數
23.4信用違約互換遠期合約及期權
23.5籃筐式信用違約互換
23.6總收益互換
23.7資產擔保債券
23.8債務抵押債券
23.9相關系數在籃筐式信用違約互換與CDO中的作用
23.10合成CDO的定價
23.11其他模型
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作業題
第24章特種期權
24.1組合期權
24.2非標准美式期權
24.3遠期開始期權
24.4復合期權
24.5選擇人期權
24.6障礙式期權
24.7兩點式期權
24.8回望式期權
24.9喊價式期權
24.10亞式期權
24.11資產交換期權
24.12涉及多種資產的期權
24.13波動率和方差互換
24.14靜態期權復制
小結
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附錄24A計算籃筐式和亞式期權價格時所需要矩的計算公式
第25章氣候、能源以及保險衍生產品
25.1定價問題的回顧
25.2氣候衍生產品
25.3能源衍生產品
25.4保險衍生產品
小結
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第26章再論模型和數值演算法
26.1布萊克斯科爾斯的替代模型
26.2隨機波動率模型
26.3IVF模型
26.4可轉換證券
26.5依賴路徑衍生產品
26.6障礙式期權
26.7與兩個相關資產有關的期權
26.8蒙特卡羅模擬與美式期權
小結
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作業題
第27章鞅與測度
27.1風險市場價格
27.2多個狀態變數
27.3鞅
27.4計價單位的其他選擇
27.5多個獨立因子的情況
27.6改進布萊克模型
27.7資產替換期權
27.8計價單位變換
27.9傳統定價方法的推廣
小結
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附錄27A處理多項不定性
第28章利率衍生產品：標准市場模型
28.1債券期權
28.2利率上限和下限
28.3歐式利率互換期權
28.4推廣
28.5利率衍生產品的對沖
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第29章曲率、時間與Quanto調整
29.1曲率調整
29.2時間調整
29.3QUANTO
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附錄29A曲率調整公式的證明
第30章利率衍生產品：短期利率模型
30.1背景
30.2平衡性模型
30.3無套利模型
30.4債券期權
30.5波動率結構
30.6利率樹形
30.7一般建立樹形的過程
30.8校正
30.9利用單因子模型進行對沖
小結
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第31章利率衍生產品：HJM與LMM模型
31.1Heath、Jarrow和Morton模型
31.2LIBOR市場模型
31.3聯邦機構房產抵押貸款證券
小結
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第32章再談互換
32.1標准交易的變形
32.2復合互換
32.3貨幣互換
32.4更復雜的互換
32.5股權互換
32.6具有內含期權的互換
32.7其他互換
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第33章實物期權
33.1資本投資評估
33.2風險中性定價的推廣
33.3估計風險市場價格
33.4對業務的評估
33.5商品價格
33.6投資機會中期權的定價
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第34章重大金融損失以及借鑒意義
34.1定義風險額度
34.2對於金融機構的教訓
34.3對於非金融機構的教訓
小結
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術語表
附錄ADerivaGem軟體說明
附錄B世界上的主要期權期貨交易所
附錄Cx≤0時N(x)的取值
附錄Dx≥0時N(x)的取值
……
Ⅳ 如何理解 Black-Scholes 期權定價模型
Black-Scholes-Merton期權定價模型(Black-Scholes-Merton Option Pricing Model)，即布萊克-斯克爾斯期權定價模型。
1997年10月10日，第二十九屆諾貝爾經濟學獎授予了兩位美國學者，哈佛商學院教授羅伯特·默頓(Robert Merton)和斯坦福大學教授邁倫·斯克爾斯(Myron Scholes)，同時肯定了布萊克的傑出貢獻。
斯克爾斯與他的同事、已故數學家費雪·布萊克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一個期權定價的復雜公式。與此同時，默頓也發現了同樣的公式及許多其它有關期權的有用結論。默頓擴展了原模型的內涵，使之同樣運用於許多其它形式的金融交易。
Ⅵ 金融數學的起源
金融數學的歷史回顧
關於金融數學的起源最早可以追溯到1900年
l 法國天才Bachelier Louis在Einstein和Wiener（正式建立了Brown運動的數學模型1905年）之前1900年就已經認識了Wiener函數的一些重要性質，即擴散方程和分布，並在其博士論文The Theory of Speculation中首次給出了歐式買權的定價公式。
l 1952年Harry M. Markowitz(1927-)（紐約市州立大學，1990年諾貝爾經濟學獎獲獎者之一）提出投資組合的選擇（Portfolio selection）理論。如果一個投資者為減少風險同時對多種股票進行投資，那麼什麼樣的投資組合最好？均值方差最優投資組合模型。
l 1958年Modigliani，F.(1985年諾貝爾經濟學獎獲獎者之一), Miller，M.H.（1923-2000）（芝加哥大學，1990年諾貝爾經濟學獎獲獎者之一）提出Modigliani-Miller定理（MMT），他斷言，在一定的條件下，公司的市場價值只依賴於它的利潤流，而於它的資本結構無關，即與債權與股權之間的比例無關；也於它的分紅策略無關，即與債權者與股權者之間的利潤分割無關。William F. Sharpe(斯坦佛大學，1934-)資本資產定價理論模型（CAPM）。Markowitz, Miller, Sharpe 獲1990年諾貝爾經濟學獎。
l 1964年，Sprenkle提出了「股票價格服從對數正態分布」的基本假設，並肯定了股價發生隨機漂移的可能性。同年，Boness將貨幣時間價值的概念引入到期權定價過程，但他沒有考慮期權和標的股票之間風險水平的差異。
l 1965年，著名經濟學家薩繆爾森(Samuelson)把上述成果統一在一個模型中。1969年，他又與其研究生Merton合作，提出了把期權價格作為標的股票價格的函數的思想。
l 1971年Robert C. Merton (1944-哈佛大學教授，數學碩士)首次提出了最優消費與投資組合問題，用隨機動態規劃的方法引入金融數學。Robert C. Merton，Myron S. Scholes1997獲年諾貝爾經濟學獎。
l 1973年Fisher Black(1938-1995哈佛大學應用數學博士)和Myron S. Scholes(1944-（斯坦福大學教授，工程學士）)在《政治經濟學雜志》發表具有劃時代意義的「期權定價與公司財務」一文，該論文首次提出了金融衍生品的期權定價理論，獲得了Black-Scholes期權定價模型。Robert C. Merton (1944-)進一步完善和系統化這一理論。1973年在Black和Scholes用幾何Brown運動來刻畫價格波動規律，用無套利復制的方法建立了歐式期權的定價公式。
兩種證券：股票 債券
歐式看漲期權
，
在B—S模型之前，雖然眾多學者已經建立了各種各樣的期權定價模型，但這些模型幾乎不具備任何實用價值，因為它仍或多或少地包含一些主觀的參數，如投資者個人對風險的態度、市場均衡價格等。
1973年Robert C. Merton (1944-)在《經濟和管理科學》發表題為「理性期權定價理論」論文，後來和Black，Scholes合作發表了多篇文章，並對經典的Black-Scholes模型從多方面做了進一步改進和發展（如股票價格的跳擴散模型）。
他們的工作被稱為華爾街的「第二次革命」，B-S公式被成千上萬的投資者每天是用，被譽為有史以來用的最多的數學工具，同時他們開創性的工作也大大推動了數學在經濟學金融學的應用和發展（如隨機分析，隨機控制，隨機微分方程，數值計算，優化理論，數理統計，非線性數學等）。
Black-Scholes 「期權定價與公司財務」一文的發表過程曾被兩次退稿，第一次《政治經濟學雜志》主編退稿的理由是：金融內容太多，經濟學內容少；《經濟與統計評論》退稿時甚至沒有說任何理由。後來《政治經濟學雜志》換了主編，在Miller的推薦（「打招呼」）下，在1973年才得以發表。而B-S公式的實證論文在1972年就在《金融學雜志》上發表。B-S公式是使用頻率最高的數學公式之一，該文的引用率高達一萬三千多次（13299次）遠遠高於其他經濟學諾獎的獲獎者（如Samuelson 為3993）。
l 1976年Ross,S.A.(1944- )針對資本資產定價模型（CAMP）提出了一個多因子模型，即套利定價模型（ATP）,其主要結論是：無套利假設等價於某種等價概率測度的存在，這使得每一種金融資產對該概率測度的期望收益率都等於無風險證券的收益率。
l Harrison 和 Krops(1979), Harrison 和 Pliska(1981),奠定了期權定價鞅方法的理論。主要結論是，在給定的市場模型下，如果等價鞅測度存在，則市場是無套利的，如果等價鞅測度存在且唯一，則市場是完備的，即市場上的任意未定權益都是可達到的。完備市場上任意未定權益有唯一無套利定價，即為未定權益的折現價格在等價鞅測度下的數學期望。完備市場是以理想的市場模型，現實市場多為不完備市場。
l Follmer 和 Sondermann(1986)首次用均值方差准則研究了不可達未定權益（non-attainable claim）的套期保值問題，依此准則，Martin Schweizer (1994)，在假定風險資產的價格過程是滿足一定形式的半鞅並且未定權益滿足F-S分解的條件下，給出了任意未定權益的最優套期保值策略和近似定價。
Ⅶ 為什麼股票價格服從對數正態分布
我們可以假設連續復利，用lnS1-lnS0來近似股票的收益（S1-S0）/S0，而且根據集合布朗運動可知，此收益是服從正態分布的。
Ⅷ 個股k線值怎樣計算聽過一個金融人士的理論:XX值取對數呈正態分布，這個XX指的什麼
這些理論也不一定準確
Ⅸ 怎麼用Excel做蒙特卡洛模擬
進行頻度統計。首先選中與總工期相對應的頻度下面的單元格D2:D23，然後輸入公式「=FREQUENCY(A2:A101,C2:C23)」，然後按下Ctrl+Shift+Enter。如此會計算出模擬出來各個總工期的發生次數。
Ⅹ 正態分布的公式及含義
正態分布
normal distribution
一種概率分布。正態分布是具有兩個參數μ和σ2的連續型隨機變數的分布，第一參數μ是服從正態分布的隨機變數的均值，第二個參數σ2是此隨機變數的方差，所以正態分布記作N(μ，σ2 )。 服從正態分布的隨機變數的概率規律為取與μ鄰近的值的概率大 ，而取離μ越遠的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正態分布的密度函數的特點是：關於μ對稱，在μ處達到最大值，在正（負）無窮遠處取值為0，在μ±σ處有拐點。它的形狀是中間高兩邊低 ，圖像是一條位於x軸上方的鍾形曲線。當μ＝0，σ2 ＝1時，稱為標准正態分布，記為N（0，1）。μ維隨機向量具有類似的概率規律時，稱此隨機向量遵從多維正態分布。多元正態分布有很好的性質，例如，多元正態分布的邊緣分布仍為正態分布，它經任何線性變換得到的隨機向量仍為多維正態分布，特別它的線性組合為一元正態分布。
正態分布最早由A.棣莫弗在求二項分布的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。
生產與科學實驗中很多隨機變數的概率分布都可以近似地用正態分布來描述。例如，在生產條件不變的情況下，產品的強力、抗壓強度、口徑、長度等指標；同一種生物體的身長、體重等指標；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈著點沿某一方向的偏差；某個地區的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來說，如果一個量是由許多微小的獨立隨機因素影響的結果，那麼就可以認為這個量具有正態分布（見中心極限定理）。從理論上看，正態分布具有很多良好的性質 ，許多概率分布可以用它來近似；還有一些常用的概率分布是由它直接導出的，例如對數正態分布、t分布、F分布等。
正態分布應用最廣泛的連續概率分布，其特徵是「鍾」形曲線。
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(一)正態分布
1.正態分布
若 的密度函數（頻率曲線）為正態函數（曲線）
(3-1)
則稱 服從正態分布，記號 ～ 。其中 、 是兩個不確定常數，是正態分布的參數，不同的 、不同的 對應不同的正態分布。
正態曲線呈鍾型，兩頭低，中間高，左右對稱，曲線與橫軸間的面積總等於1。
2．正態分布的特徵
服從正態分布的變數的頻數分布由 、 完全決定。
(1) 是正態分布的位置參數，描述正態分布的集中趨勢位置。正態分布以 為對稱軸，左右完全對稱。正態分布的均數、中位數、眾數相同，均等於 。
(2) 描述正態分布資料數據分布的離散程度， 越大，數據分布越分散， 越小，數據分布越集中。 也稱為是正態分布的形狀參數， 越大，曲線越扁平，反之， 越小，曲線越瘦高。
(二)標准正態分布
1．標准正態分布是一種特殊的正態分布，標准正態分布的μ和σ2為0和1，通常用 （或Z）表示服從標准正態分布的變數，記為 Z～N（0，1）。
2．標准化變換：此變換有特性：若原分布服從正態分布 ，則Z=(x-μ)/σ ～ N(0,1) 就服從標准正態分布,通過查標准正態分布表就可以直接計算出原正態分布的概率值。故該變換被稱為標准化變換。
3. 標准正態分布表
標准正態分布表中列出了標准正態曲線下從-∞到X(當前值）范圍內的面積比例 。
（三）正態曲線下面積分布
1．實際工作中，正態曲線下橫軸上一定區間的面積反映該區間的例數占總例數的百分比，或變數值落在該區間的概率（概率分布）。不同 范圍內正態曲線下的面積可用公式3-2計算。
（3-2）
。
2.幾個重要的面積比例
軸與正態曲線之間的面積恆等於1。正態曲線下，橫軸區間（μ-σ，μ+σ）內的面積為68.27%，橫軸區間（μ-1.96σ，μ+1.96σ）內的面積為95.00%，橫軸區間（μ-2.58σ，μ+2.58σ）內的面積為99.00%。
（四）正態分布的應用
某些醫學現象，如同質群體的身高、紅細胞數、血紅蛋白量，以及實驗中的隨機誤差，呈現為正態或近似正態分布；有些指標（變數）雖服從偏態分布，但經數據轉換後的新變數可服從正態或近似正態分布，可按正態分布規律處理。其中經對數轉換後服從正態分布的指標，被稱為服從對數正態分布。
1. 估計頻數分布 一個服從正態分布的變數只要知道其均數與標准差就可根據公式（3-2）估計任意取值 范圍內頻數比例。
2. 制定參考值范圍
（1）正態分布法 適用於服從正態（或近似正態）分布指標以及可以通過轉換後服從正態分布的指標。
（2）百分位數法 常用於偏態分布的指標。表3-1中兩種方法的單雙側界值都應熟練掌握。
表3-1 常用參考值范圍的制定
概率
（%） 正態分布法 百分位數法
雙側 單 側 雙側 單側
下 限 上 限 下 限 上 限
90
95
99
3. 質量控制：為了控制實驗中的測量（或實驗）誤差，常以 作為上、下警戒值，以 作為上、下控制值。這樣做的依據是：正常情況下測量（或實驗）誤差服從正態分布。
4. 正態分布是許多統計方法的理論基礎。 檢驗、方差分析、相關和回歸分析等多種統計方法均要求分析的指標服從正態分布。許多統計方法雖然不要求分析指標服從正態分布，但相應的統計量在大樣本時近似正態分布，因而大樣本時這些統計推斷方法也是以正態分布為理論基礎的。
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一、正態分布的概念
由表1.1的頻數表資料所繪制的直方圖，圖3.1（1）可以看出，高峰位於中部，左右兩側大致對稱。我們設想，如果觀察例數逐漸增多，組段不斷分細，直方圖頂端的連線就會逐漸形成一條高峰位於中央（均數所在處），兩側逐漸降低且左右對稱，不與橫軸相交的光滑曲線圖3.1（3）。這條曲線稱為頻數曲線或頻率曲線，近似於數學上的正態分布（normal distribution）。由於頻率的總和為100%或1，故該曲線下橫軸上的面積為100%或1。
圖3.1頻數分布逐漸接近正態分布示意圖
為了應用方便，常對正態分布變數X作變數變換。
（3.1）
該變換使原來的正態分布轉化為標准正態分布 (standard normal distribution)，亦稱u分布。u被稱為標准正態變數或標准正態離差（standard normal deviate）。
二、正態分布的特徵：
1．正態曲線（normal curve）在橫軸上方均數處最高。
2．正態分布以均數為中心，左右對稱。
3．正態分布有兩個參數，即均數和標准差。是位置參數，當固定不變時，越大，曲線沿橫軸越向右移動；反之，越小，則曲線沿橫軸越向左移動。是形狀參數，當固定不變時，越大，曲線越平闊；越小，曲線越尖峭。通常用表示均數為，方差為的正態分布。用N（0，1）表示標准正態分布。
4．正態曲線下面積的分布有一定規律。
實際工作中，常需要了解正態曲線下橫軸上某一區間的面積占總面積的百分數，以便估計該區間的例數占總例數的百分數（頻數分布）或觀察值落在該區間的概率。正態曲線下一定區間的面積可以通過附表1求得。對於正態或近似正態分布的資料，已知均數和標准差，就可對其頻數分布作出概約估計。
查附表1應注意：①表中曲線下面積為-∞到u的左側累計面積；②當已知μ、σ和X時先按式（3.1）求得u值，再查表，當μ、σ未知且樣本含量n足夠大時，可用樣本均數和標准差S分別代替μ和σ，按式求得u值，再查表；③曲線下對稱於0的區間面積相等，如區間（-∞，-1.96）與區間（1.96，∞）的面積相等，④曲線下橫軸上的總面積為100%或1。
正態分布曲線下有三個區間的面積應用較多，應熟記：①標准正態分布時區間（-1,1）或正態分布時區間（μ-1σ,μ+1σ）的面積占總面積的68.27%；②標准正態分布時區間（-1.96,1.96）或正態分布區間（μ-1.96σ,μ+1.96σ）的面積占總面積的95%；③標准正態分布時區間（-2.58,2.58）或正態分布時區間（μ-2.58σ,μ+2.58σ）的面積占總面積的99%。如圖3.2所示。（μ-3σ）的面積比例為99.74%,(μ-2σ)面積比例為95.44%。