1. 數學史上的三次危機是哪三次
數學史上的三次數學危機分別發生在公元前5世紀、17世紀、19世紀末，都是發生在西方文化大發展時期。因此，數學危機的發生，都有其一定的文化背景。
這三次數學危機分別是：
第一次：古希臘時代，由於不可公度的線段――無理數的發現與一些直覺的經驗想抵觸而引發的；
第二次：是在牛頓和萊布尼茨建立了微積分理論後，對無窮小量的理解未及深透引起的；
第三次：是當羅素發現了集合論中的悖論，危及整個數學的基礎而引起的。
三次數學危機盡管當時對數學和哲學都造成了巨大的影響，給當時某個時期造成了某種困境，然而由於一直未妨礙數學的發展與應用。反而在困境過後去，給數學的發展帶來了新的生機。
2. 三次數學危機
數學悖論與三次數學危機
陳基耿
摘要：數學發展從來不是完全直線式的，而是常常出現悖論。歷史上一連串的
數學悖論動搖了人們對數學可靠性的信仰，數學史上曾經發生了三次數學危機。數學悖論的產生和危機的出現，不單給數學帶來麻煩和失望，更重要的是給數學的發展帶來新的生機和希望，促進了數學的繁榮。危機產生、解決、又產生的無窮反復過程，不斷推動著數學的發展，這個過程也是數學思想獲得重要發展的過程。
關鍵詞：數學悖論；數學危機；畢達哥拉斯悖論；貝克萊悖論；羅素悖論
數學歷來被視為嚴格、和諧、精確的學科，縱觀數學發展史，數學發展從來不是完全直線式的，他的體系不是永遠和諧的，而常常出現悖論。悖論是指在某一一定的理論體系的基礎上，根據合理的推理原則，推出了兩個互相矛盾的命題，或者是證明了這樣一個復合命題，它表現為兩個互相矛盾的命題的等價式[1]。數學悖論在數學理論中的發展是一件嚴重的事，因為它直接導致了人們對於相應理論的懷疑，而如果一個悖論所涉及的面十分廣泛的話，甚至涉及到整個學科的基礎時，這種懷疑情緒又可能發展成為普遍的危機感，特別是一些重要悖論的產生自然引起人們對數學基礎的懷疑以及對數學可靠性信仰的動搖。數學史上曾經發生過三次數學危機，每次都是由一兩個典型的數學悖論引起的。本文回顧了歷史上發生的三次數學危機，重點介紹了三次數學危機對數學發展的重要作用。
1畢達哥拉斯悖論與第一次數學危機
1.1第一次數學危機的內容
公元前六世紀，在古希臘學術界占統治地位的畢達哥拉斯學派，其思想在當時被認為是絕對權威的真理，畢達哥拉斯學派倡導的是一種稱為「唯數論」的哲學觀點，他們認為宇宙的本質就是數的和諧[2]。他們認為萬物皆數，而數只有兩種，就是正整數和可通約的數（即分數，兩個整數的比）， 除此之外不再有別的數，即是說世界上只有整數或分數。
畢達哥拉斯學派在數學上的一項重大貢獻是證明了畢達哥拉斯定理[3]，也就是我們所說的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三邊應有如下關系，即a2=b2+c2，a和b分別代表直角三角形的兩條直角邊，c表示斜邊。
然而不久畢達哥拉斯學派的一個學生希伯斯很快便發現了這個論斷的問題。他發現邊長相等的正方形其對角線長並不能用整數或整數之比來表示。假設正方形邊長為1，並設其對角線長為d，依勾股定理應有d2=12+12=2，即d2=2，那麼d是多少呢？顯然d不是整數，那它必是兩整數之比。希伯斯花了很多時間來尋找這兩個整數之比，結果沒找著，反而找到了兩數不可通約性的證明[4]，用反證法證明如下：設Rt△ABC，兩直角邊為a=b，則由勾股定理有c2=2a2，設已將a和c中的公約數約去，即a、c已經互素，於是c為偶數，a為奇數，不妨令c=2m，則有(2m)2=2a2，a2=2m2，於是a為偶數，這與前面已證a為奇數矛盾。這一發現歷史上稱為畢達哥拉斯悖論。
1.2第一次數學危機的影響
畢達哥拉斯悖論的出現，對畢達哥拉斯學派產生了沉重的打擊，「數即萬物」的世界觀被極大的動搖了,有理數的尊崇地位也受到了挑戰，因此也影響到了整個數學的基礎，使數學界產生了極度的思想混亂，歷史上稱之為第一次數學危機。
第一次數學危機的影響是巨大的，它極大的推動了數學及其相關學科的發展。首先，第一次數學危機讓人們第一次認識到了無理數的存在，無理數從此誕生了，之後，許多數學家正式研究了無理數，給出了無理數的嚴格定義，提出了一個含有有理數和無理數的新的數類——實數，並建立了完整的實數理論[5]，為數學分析的發展奠定了基礎。再者，第一次數學危機表明，直覺和經驗不一定靠得住，推理證明才是可靠的，從此希臘人開始重視演繹推理，並由此建立了幾何公理體系。歐氏幾何就是人們為了消除矛盾，解除危機，在這時候應運而生的[6]。第一次數學危機極大地促進了幾何學的發展,使幾何學在此後兩千年間成為幾乎是全部嚴密數學的基礎，這不能不說是數學思想史上的一次巨大革命。
2貝克萊悖論與第二次數學危機
2.1第二次數學危機的內容
公元17世紀，牛頓和萊布尼茲創立了微積分，微積分能提示和解釋許多自然現象，它在自然科學的理論研究和實際應用中的重要作用引起人們高度的重視。然而，因為微積分才剛剛建立起來，這時的微積分只有方法，沒有嚴密的理論作為基礎，許多地方存在漏洞，還不能自圓其說。
例如牛頓當時是這樣求函數y＝xn的導數的[7]：（x＋△x）n＝xn＋n•xn-1•△x＋[n（n+1）/2]•xn-2•(△x)2＋……＋（△x）n，然後用自變數的增量△x除以函數的增量△y ，△y/△x＝[（x＋△x）n－xn ]/△x＝n•xn-1＋[n（n-1）/2] •xn-2•△x＋……＋n•x•（△x）n-2＋（△x）n-1，最後，扔掉其中含有無窮小量△x的項，即得函數y=xn的導數為y′=nxn-1。
對於牛頓對導數求導過程的論述，哲學家貝克萊很快發現了其中的問題，他一針見血的指出：先用△x為除數除以△y，說明△x不等於零，而後又扔掉含有△x的項，則又說明△x等於零，這豈不是自相矛盾嗎？因此貝克萊嘲弄無窮小是「逝去的量的鬼魂」，他認為微積分是依靠雙重的錯誤得到了正確的結果，說微積分的推導是「分明的詭辯」。[8]這就是著名的「貝克萊悖論」。
確實，這種在同一問題的討論中，將所謂的無窮小量有時作為0，有時又異於0的做法，不得不讓人懷疑。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？貝克萊悖論的出現危及到了微積分的基礎，引起了數學界長達兩個多世紀的論戰，從而形成了數學發展史中的第二次危機。
2.2第二次數學危機的影響[8]
第二次數學危機的出現，迫使數學家們不得不認真對待無窮小量△x，為了克服由此引起思維上的混亂，解決這一危機，無數人投入大量的勞動。在初期，經過歐拉、拉格朗日等人的努力,微積分取得了一些進展；從19世紀開始為徹底解決微積分的基礎問題，柯西、外爾斯特拉斯等人進行了微積分理論的嚴格化工作。微積分內在的根本矛盾，就是怎樣用數學的和邏輯的方法來表現無窮小，從而表現與無窮小緊密相關的微積分的本質。在解決使無窮小數學化的問題上，出現了羅比達公理：一個量增加或減少與之相比是無窮小的另一個量，則可認為它保持不變。而柯西採用的ε－δ方法刻畫無窮小，把無窮小定義為以0為極限的變數，沿用到今，無窮小被極限代替了。後來外爾斯特拉斯又把它明確化，給出了極限的嚴格定義，建立了極限理論，這樣就使微積分建立在極限基礎之上了。極限的ε－δ定義就是用靜態的ε－δ刻畫動態極限，用有限量來描述無限性過程，它是從有限到無限的橋梁和路標，它表現了有限與無限的關系，使微積分朝科學化、數學化前進了一大步。極限理論的建立加速了微積分的發展，它不僅在數學上，而且在認識論上也有重大的意義。後來在考查極限理論的基礎中，經過代德金、康托爾、海涅、外爾斯特拉斯和巴門赫等人的努力，產生了實數理論；在考查實數理論的基礎時，康托爾又創立了集合論。這樣有了極限理論、實數理論和集合論三大理論後，微積分才算建立在比較穩固和完美的基礎之上了，從而結束了二百多年的紛亂爭論局面，進而開辟了下一個世紀的函數論的發展道路。
3羅素悖論與第三次數學危機
3.1第三次數學危機的內容
在前兩次數學危機解決後不到30年即19世紀70年代,德國數學家康托爾創立了集合論,集合論是數學上最具革命性的理論,初衷是為整個數學大廈奠定堅實的基礎。1900年，在巴黎召開的國際數學家會議上，法國大數學家龐加萊興奮的宣布[9]：「我們可以說，現在數學已經達到了絕對的嚴格。」然而，正當人們為集合論的誕生而歡欣鼓舞之時,一串串數學悖論卻冒了出來，又攪得數學家心裡忐忑不安,其中英國數學家羅素1902年提出的悖論影響最大,「羅素悖論」的內容是這樣的：設集合B是一切不以自身為元素的集合所組成的集合，問：B是否屬於B？若B屬於B，則B是B的元素，於是B不屬於自身，即B不屬於B；反之，若B不屬於B，則B不是B的元素，於是B屬於自己，即B屬於B。這樣，利用集合的概念，羅素導出了——集合B不屬於B當且僅當集合B屬於B時成立的悖論。之後，羅素本人還提出了羅素悖論的通俗版本，即理發師悖論[10]。理發師宣布了這樣一條原則：他只為村子裡不給自己刮鬍子的人刮鬍子。那麼現在的問題是，理發師的鬍子應該由誰來刮？。如果他自己給自己刮鬍子，那麼他就是村子裡給自己刮鬍子的人，根據他的原則，他就不應給自己刮鬍子；如果他不給自己刮鬍子，那麼他就是村子裡不給自己刮鬍子的人，那麼又按他的原則他就該為自己刮鬍子。同樣有產生了這樣的悖論：理發師給自己刮鬍子當且僅當理發師不給自己刮鬍子。這就是歷史上著名的羅素悖論。羅素悖論的出現，動搖了數學的基礎，震撼了整個數學界，導致了第三次數學危機。
3.2第三次數學危機的影響
羅素悖論的出現，動搖了本來作為整個數學大廈的基礎——集合論，自然引起人們對數學基本結構有效性的懷疑。羅素悖論的高明之處，還在於它只是用了集合的概念本身，而並不涉及其它概念而得出來的，使人們更是無從下手解決。羅素悖論導致的第三次數學危機，使數學家們面臨著極大的困難。
數學家弗雷格在他剛要出版的《論數學基礎》卷二末尾就寫道[11]：「對一位科學家來說，沒有一件比下列事實更令人掃興：當他工作剛剛完成的時候，它的一塊基石崩塌下來了。在本書的印刷快要完成時，羅素先生給我的一封信就使我陷入這種境地。」可見第三次數學危機使人們面臨多麼尷尬的境地。然而科學面前沒有人會迴避，數學家們立即投入到了消除悖論的工作中，值得慶幸的是，產生羅素悖論的根源很快被找到了，原來康托爾提出集合論時對「集合」的概念沒有做必要的限制，以至於可以構造「一切集合的集體」這種過大的集合而產生了悖論。
為了從根本上消除集合論中出現的各種悖論，特別是羅素悖論，許多數學家進行了不懈的努力。如以羅素為主要代表的邏輯主義學派[12]，提出了類型論以及後來的曲折理論、限制大小理論、非類理論和分支理論，這些理論都對消除悖論起到了一定的作用；而最重要的是德國數學家策梅羅提出的集合論的公理化，策梅羅認為，適當的公理體系可以限制集合的概念，從邏輯上保證集合的純粹性，他首次提出了集合論公理系統，後經費蘭克爾、馮•諾伊曼等人的補充形成了一個完整的集合論公理體系（ZFC系統）[5]，在ZFC系統中，「集合」和「屬於」是兩個不加定義的原始概念，另外還有十條公理。ZFC系統的建立，使各種矛盾得到迴避，從而消除了羅素悖論為代表的一系列集合悖論，第三次數學危機也隨之銷聲匿跡了。
盡管悖論消除了，但數學的確定性卻在一步一步喪失，現代公理集合論一大堆公理是在很難說孰真孰假，可是又不能把它們一古腦消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的，所以第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續[7]。為了消除第三次數學危機，數理邏輯也取得了很大發展，證明論、模型論和遞歸論相繼誕生，出現了數學基礎理論、類型論和多值邏輯等。可以說第三次數學危機大大促進了數學基礎研究及數理邏輯的現代性，而且也因此直接造成了數學哲學研究的「黃金時代」。
4結語
歷史上的三次數學危機，給人們帶來了極大的麻煩，危機的產生使人們認識到了現有理論的缺陷，科學中悖論的產生常常預示著人類的認識將進入一個新階段，所以悖論是科學發展的產物，又是科學發展源泉之一。第一次數學危機使人們發現無理數，建立了完整的實數理論，歐氏幾何也應運而生並建立了幾何公理體系；第二次數學危機的出現，直接導致了極限理論、實數理論和集合論三大理論的產生和完善，使微積分建立在穩固且完美的基礎之上；第三次數學危機，使集合論成為一個完整的集合論公理體系（ZFC系統），促進了數學基礎研究及數理邏輯的現代性。
數學發展的歷史表明對數學基礎的深入研究、悖論的出現和危機的相對解決有著十分密切的關系，每一次危機的消除都會給數學帶來許多新內容、新認識，甚至是革命性的變化，使數學體系達到新的和諧，數學理論得到進一步深化和發展。悖論的存在反映了數學概念、原理在一定歷史階段會存在很多矛盾，導致人們的懷疑，產生危機感，然而事物就是在不斷產生矛盾和解決矛盾中逐漸發展完善起來的，舊的矛盾解決了,新的矛盾還會產生，而就是在其過程中，人們便不斷積累了新的認識、新的知識，發展了新的理論。數學家對悖論的研究和解決促進了數學的繁榮和發展，數學中悖論的產生和危機的出現，不單是給數學帶來麻煩和失望，更重要的是給數學的發展帶來新的生機和希望。
數學中悖論和危機的歷史也說明了這一點：已有的悖論和危機消除了，又產生新的悖論和危機。但是人的認識是發展的，悖論或危機遲早都能獲得解決。「產生悖論和危機，然後努力解決它們，而後又產生新的悖論和危機。」這是一個無窮反復的過程，也就不斷推動著數學的發展，這個過程也是數學思想獲得重要發展的過程。
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夠嗎？
3. 三次數學危機分別是什麼
數學發展史上的三次危機
1.畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2
的誕生。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。由兩千多年後的數學家們建立的實數理論才消除它。
2.第二次數學危機導源於微積分工具的使用。貝克萊一針見血地指出牛頓在對x^n(n是正整數)求導時既把△x不當做0看而又把△x當作0看是一個嚴重的自相矛盾，從而幾乎使微積分停滯不前，後來還是柯西和魏爾斯特拉斯等人提出無窮小是一個無限向0靠近，但是永遠不等於0的變數，這才把微積分重新穩固地建立在嚴格的極限理論基礎上，從而消滅的這次數學危機！
3.十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。
羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定的集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就屬於S。無論如何都是矛盾的。
可以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。
危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。比如ZF公理系統。這一問題的解決只現在還在進行中。羅素悖論的根源在於集合論里沒有對集合的限制，以至於讓羅素能構造一切集合的集合這樣「過大」的集合，對集合的構造的限制至今仍然是數學界里一個巨大的難題！
4. 數學史上的三次數學危機分別是如何出現的
無理數的發現、微積分無窮小量的理解、羅素悖論
5. 什麼是數學發展史上的三次危機
無理數的發現——第一次數學危機
簡單的說就是古時代的人把數字與實際世界中的距離概念對應起來，有人認為任何距離都可以表述為M/N，M,N均為整數，畢竟無限循環小數都可以寫成這樣的分數形式，所以很多人對這一概念抱有信心。直到後來有人發現邊長為1的正方形的對角線長度不能用這樣的數來描述，大家對這一現象感覺很奇妙，導致了對數的概念的反思。
無窮小是零嗎——第二次數學危機
早期的微積分創造者如牛頓喜歡在他的作品中把速度寫成類似v=limt->0 (x/t)的形式，由於牛頓當時沒有給出這個lim t->0的較好的定義，所以受到了很多懷疑，如一個當時富有知識的主教就指責其中概念不清。
悖論的產生---第三次數學危機
假如一個理發師說：「我給村裡不給自己理發的人理發」。
仔細思考一下這個句子，是不是很有意思呢？
由於當時的數學基礎使用最基礎的概念是集合。這句話使用集合論表述存在許多問題，後來就展開了邏輯以及數學基礎的大討論。
6. 數學史上的三次危機
第一次數學危機，是數學史上的一次重要事件，發生於大約公元前400年左右的古希臘時期，自根號二的發現起，到公元前370年左右，以無理數的定義出現為結束標志。這次危機的出現沖擊了一直以來在西方數學界占據主導地位的畢達哥拉斯學派，同時標志著西方世界關於無理數的研究的開始。
第二次數學危機，指發生在十七、十八世紀，圍繞微積分誕生初期的基礎定義展開的一場爭論，這場危機最終完善了微積分的定義和與實數相關的理論系統，同時基本解決了第一次數學危機的關於無窮計算的連續性的問題，並且將微積分的應用推向了所有與數學相關的學科中。
數學史上的第三次危機，是由1897年的突然沖擊而出現的，到現在，從整體來看，還沒有解決到令人滿意的程度。這次危機是由於在康托爾的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的。由於集合概念已經滲透到眾多的數學分支，並且實際上集合論成了數學的基礎，因此集合論中悖論的發現自然地引起了對數學的整個基本結構的有效性的懷疑。
(6)三次數學危機擴展閱讀：
一般來講，危機是一種激化的、非解決不可的矛盾。從哲學上來看，矛盾是無處不在的、不可避免的，即便以確定無疑著稱的數學也不例外。
數學中有大大小小的許多矛盾，比如正與負、加法與減法、微分與積分、有理數與無理數、實數與虛數等等。但是整個數學發展過程中還有許多深刻的矛盾，例如有窮與無窮，連續與離散，乃至存在與構造，邏輯與直觀，具體對象與抽象對象，概念與計算等等。在整個數學發展的歷史上，貫穿著矛盾的斗爭與解決。而在矛盾激化到涉及整個數學的基礎時，就產生數學危機。
7. 數學三大危機是什麼。
第一，希伯斯（Hippasu，米太旁登地方人，公元前5世紀）發現了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即根號2）永遠無法用最簡整數比（不可公度比）來表示，從而發現了第一個無理數，推翻了畢達哥拉斯的著名理論。相傳當時畢達哥拉斯派的人正在海上，但就因為這一發現而把希伯斯拋入大海。
第二，微積分的合理性遭到嚴重質疑，險些要把整個微積分理論推翻。
第三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S包含S嗎？用通俗一點的話來說，小明有一天說：「我正在撒謊！」問小明到底撒謊還是說實話。羅素悖論的可怕在於，它不像最大序數悖論或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕松摧毀集合理論！
(7)三次數學危機擴展閱讀：
第二次危機解決：
經過柯西（微積分收官人）用極限的方法定義了無窮小量，微積分理論得以發展和完善，從而使數學大廈變得更加輝煌美麗！
第三次危機解決：
排除悖論：
危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。
「這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。」
1908年，策梅羅在自己這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。
公理化集合系統：
成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。
它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等。
8. 數學史上的三次危機分別是什麼
畢達哥拉斯是公元前五世紀古希臘的著名數學家與哲學家。他曾創立了一個合政治、學術、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學派。由畢達哥拉斯提出的著名命題「萬物皆數」是該學派的哲學基石。而「一切數均可表成整數或整數之比」則是這一學派的數學信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學派數學信仰的「掘墓人」。畢達哥拉斯定理提出後，其學派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發現這一長度既不能用整數，也不能用分數表示，而只能用一個新數來表示。希帕索斯的發現導致了數學史上第一個無理數√2 的誕生。小小√2的出現，卻在當時的數學界掀起了一場巨大風暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學派的數學信仰，使畢達哥拉斯學派為之大為恐慌。實際上，這一偉大發現不但是對畢達哥拉斯學派的致命打擊。對於當時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結論的悖論性表現在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內都可以表示成有理數。這不但在希臘當時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術已經高度發展時，這個斷言也毫無例外是正確的！可是為我們的經驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應該是多麼違反常識，多麼荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當時直接導致了人們認識上的危機，從而導致了西方數學史上一場大的風波，史稱「第一次數學危機」。 第二次數學危機導源於微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具後變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。 羅素悖論與第三次數學危機 十九世紀下半葉，康托爾創立了著名的集合論，在集合論剛產生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創性成果就為廣大數學家所接受了，並且獲得廣泛而高度的贊譽。數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。「一切數學成果可建立在集合論基礎上」這一發現使數學家們為之陶醉。1900年，國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：「………藉助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……」 康托爾 可是，好景不長。1903年，一個震驚數學界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數學家羅素提出的著名的羅素悖論。 羅素構造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然後羅素問：S是否屬於S呢？根據排中律，一個元素或者屬於某個集合，或者不屬於某個集合。因此，對於一個給定的集合，問是否屬於它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬於S，根據S的定義，S就不屬於 S；反之，如果S不屬於S，同樣根據定義，S就屬於S。無論如何都是矛盾的。 羅素 其實，在羅素之前集合論中就已經發現了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數悖論。1899年，康托爾自己發現了最大基數悖論。但是，由於這兩個悖論都涉及集合中的許多復雜理論，所以只是在數學界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當時的數學界與邏輯學界內引起了極大震動。如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信後傷心地說：「一個科學家所遇到的最不合心意的事莫過於是在他的工作即將結束時，其基礎崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置於這個境地。」戴德金也因此推遲了他的《什麼是數的本質和作用》一文的再版。可以說，這一悖論就象在平靜的數學水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導致了第三次數學危機。 危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。「這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內容得以保存下來。」1908年，策梅羅在自已這一原則基礎上提出第一個公理化集合論體系，後來經其他數學家改進，稱為ZF系統。這一公理化集合系統很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。除ZF系統外，集合論的公理系統還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統等。公理化集合系統的建立，成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。它使得數學基礎問題第一次以最迫切的需要的姿態擺到數學家面前，導致了數學家對數學基礎的研究。而這方面的進一步發展又極其深刻地影響了整個數學。如圍繞著數學基礎之爭，形成了現代數學史上著名的三大數學流派，而各派的工作又都促進了數學的大發展等等
9. 數學史上的三次危機是什麼
數學三大危機，涉及無理數、微積分和集合等數學概念。
1、危機一，希巴斯（Hippasus，米太旁登地方人，公元前470年左右）發現了一個腰為1的等腰直角三角形的斜邊（即2的2次方根）永遠無法用最簡整數比（不可公度比）來表示，從而發現了第一個無理數，推翻了畢達哥拉斯的著名理論。
2、危機二，微積分的合理性遭到嚴重質疑，險些要把整個微積分理論推翻。
3、危機三，羅素悖論：S由一切不是自身元素的集合所組成，那S屬於S嗎？用通俗一點的話來說，小明有一天說：「我正在撒謊！」問小明到底撒謊還是說實話。羅素悖論的可怕在於，它不像最大序數悖論或最大基數悖論那樣涉及集合高深知識，它很簡單，卻可以輕松摧毀集合理論。
(9)三次數學危機擴展閱讀：
排除悖論
危機產生後，數學家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。
公理化集合系統
成功排除了集合論中出現的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數學危機。但在另一方面，羅素悖論對數學而言有著更為深刻的影響。
參考資料網路-數學三大危機