1. 什麼是歐式幾何和非歐幾何
要說到幾何，大多數人便會想到運用並流傳了幾千年的歐式幾何，這是毋庸置疑的。歐式幾何在我們的生活中運用太廣泛了。從我們開始接觸幾何問題，和我們生活中所接觸到的一些幾何問題大部分都是歐式幾何。歐式幾何是幾何學的一門分科。又稱歐幾里德幾何。公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里德把人們公認的一些幾何知識作為定義和公理，在此基礎上研究圖形的性質，推導出一系列定理，組成演繹體系，寫出《幾何原本》，形成了歐氏幾何。歐式幾何的傳統描述是一個公理系統，通過有限的公理來證明所有的「真命題」。歐式幾何共有五條公理，其中前四個都是可以通過各種方法來證明的，並被眾人接受。唯有公理5使許多人不能被理解所接受 。於是由此問題，我們又有了一個巨大的發現，也是人類歷史上的重大轉變。那就是非歐幾何的出現。歐式幾何所能解決的只限於平面，從而偉大的第五公理就這樣在非歐幾何中得證。
1826年2月23日，羅巴切夫斯基於喀山大學物理數學系學術會議上，宣讀了他的第一篇關於非歐幾何的論文：《幾何學原理及平行線定理嚴格證明的摘要》。這篇首創性論文的問世，標志著非歐幾何的誕生。
它不僅僅是解決了人們長達兩千多年的關於「平行線理論」的討論。非歐幾何更是人類認識史上一個富有創造性的偉大成果，它的創立，不僅帶來了近百年來數學的巨大進步，而且對現代物理學、天文學以及人類時空觀念的變革都產生了深遠的影響。
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2. 非歐幾何的作用
歐氏幾何研究的是「平直」的幾何物體，比如直線、平面等等。它的研究背景空間當然是最平直的歐氏空間 非歐幾何則是研究「彎曲」的空間。在整個宇宙中， 實際上是沒有真正「平直」的幾何物體的，而只有彎曲物體。歐氏幾何只是一種理想化的模型。 因此非歐幾何才是研究物理世界的最准確的幾何模型。
非歐幾何的重要作用之一就是為廣義相對論提供了最有效的數學基礎，揭示了引力和空間扭曲的幾何性質之間的關系。
3. 非歐幾何是什麼
歐式幾何指的是歐幾里得幾何，就是我們所學的，也叫做平面幾何。非歐幾何有很多種，包括黎曼幾何和羅氏幾何等等。也可以建立坐標，但是意義可能與歐式幾何中有差別，而且很多性質將不再成立。
4. 非歐幾何指的是什麼
非歐幾何學是一門大的數學分支，一般來講 ，他有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至於通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。 歐幾里得的《幾何原本》提出了五條公設，長期以來，數學家們發現第五公設和前四個公設比較起來，顯得文字敘述冗長，而且也不那麼顯而易見。 有些數學家還注意到歐幾里得在《幾何原本》一書中直到第二十九個命題中才用到，而且以後再也沒有使用。也就是說，在《幾何原本》中可以不依靠第五公設而推出前二十八個命題。 因此，一些數學家提出，第五公設能不能不作為公設，而作為定理？能不能依靠前四個公設來證明第五公設？這就是幾何發展史上最著名的，爭論了長達兩千多年的關於「平行線理論」的討論。 由於證明第五公設的問題始終得不到解決，人們逐漸懷疑證明的路子走的對不對？第五公設到底能不能證明？ 到了十九世紀二十年代，俄國喀山大學教授羅巴切夫斯基在證明第五公設的過程中，他走了另一條路子。他提出了一個和歐式平行公理相矛盾的命題,用它來代替第五公設，然後與歐式幾何的前四個公設結合成一個公理系統，展開一系列的推理。他認為如果這個系統為基礎的推理中出現矛盾，就等於證明了第五公設。我們知道，這其實就是數學中的反證法。 但是，在他極為細致深入的推理過程中，得出了一個又一個在直覺上匪夷所思，但在邏輯上毫無矛盾的命題。最後，羅巴切夫斯基得出兩個重要的結論： 第一，第五公設不能被證明。 第二，在新的公理體系中展開的一連串推理，得到了一系列在邏輯上無矛盾的新的定理，並形成了新的理論。這個理論像歐式幾何一樣是完善的、嚴密的幾何學。 這種幾何學被稱為羅巴切夫斯基幾何，簡稱羅氏幾何。這是第一個被提出的非歐幾何學。 從羅巴切夫斯基創立的非歐幾何學中，可以得出一個極為重要的、具有普遍意義的結論：邏輯上互不矛盾的一組假設都有可能提供一種幾何學。 幾乎在羅巴切夫斯基創立非歐幾何學的同時，匈牙利數學家鮑耶·雅諾什也發現了第五公設不可證明和非歐幾何學的存在。鮑耶在研究非歐幾何學的過程中也遭到了家庭、社會的冷漠對待。他的父親——數學家鮑耶·法爾卡什認為研究第五公設是耗費精力勞而無功的蠢事，勸他放棄這種研究。但鮑耶·雅諾什堅持為發展新的幾何學而辛勤工作。終於在1832年，在他的父親的一本著作里，以附錄的形式發表了研究結果。 那個時代被譽為「數學王子」的高斯也發現第五公設不能證明，並且研究了非歐幾何。但是高斯害怕這種理論會遭到當時教會力量的打擊和迫害，不敢公開發表自己的研究成果，只是在書信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出來公開支持羅巴切夫斯基、鮑耶他們的新理論。 羅氏幾何 羅氏幾何學的公理系統和歐式幾何學不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用「從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行」來代替，其他公理基本相同。由於平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。 我們知道，羅氏幾何除了一個平行公理之外採用了歐式幾何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的幾何命題，在歐式幾何中如果是正確的，在羅氏幾何中也同樣是正確的。在歐式幾何中，凡涉及到平行公理的命題，再羅氏幾何中都不成立，他們都相應地含有新的意義。下面舉幾個例子加以說明： 歐式幾何 同一直線的垂線和斜線相交。 垂直於同一直線的兩條直線互相平行。 存在相似的多邊形。 過不在同一直線上的三點可以做且僅能做一個圓。 羅氏幾何 同一直線的垂線和斜線不一定相交。 垂直於同一直線的兩條直線，當兩端延長的時候，離散到無窮。 不存在相似的多邊形。 過不在同一直線上的三點，不一定能做一個圓。 從上面所列舉得羅氏幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習慣的直觀形象有矛盾。所以羅氏幾何中的一些幾何事實沒有象歐式幾何那樣容易被接受。但是，數學家們經過研究，提出可以用我們習慣的歐式幾何中的事實作一個直觀「模型」來解釋羅氏幾何是正確的。 1868年，義大利數學家貝特拉米發表了一篇著名論文《非歐幾何解釋的嘗試》，證明非歐幾何可以在歐幾里得空間的曲面（例如擬球曲面）上實現。這就是說，非歐幾何命題可以「翻譯」成相應的歐幾里得幾何命題，如果歐幾里得幾何沒有矛盾，非歐幾何也就自然沒有矛盾。 人們既然承認歐幾里得是沒有矛盾的，所以也就自然承認非歐幾何沒有矛盾了。直到這時，長期無人問津的非歐幾何才開始獲得學術界的普遍注意和深入研究，羅巴切夫斯基的獨創性研究也就由此得到學術界的高度評價和一致贊美，他本人則被人們贊譽為「幾何學中的哥白尼」。 黎曼幾何 歐氏幾何與羅氏幾何中關於結合公理、順序公理、連續公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一樣。歐式幾何講「過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行」。羅氏幾何講「過直線外一點至少存在兩條直線和已知直線平行」。那麼是否存在這樣的幾何「過直線外一點，不能做直線和已知直線平行」？黎曼幾何就回答了這個問題。 黎曼幾何是德國數學家黎曼創立的。他在1851年所作的一篇論文《論幾何學作為基礎的假設》中明確的提出另一種幾何學的存在，開創了幾何學的一片新的廣闊領域。 黎曼幾何中的一條基本規定是：在同一平面內任何兩條直線都有公共點(交點)。在黎曼幾何學中不承認平行線的存在，它的另一條公設講：直線可以無限延長，但總的長度是有限的。黎曼幾何的模型是一個經過適當「改進」的球面。 近代黎曼幾何在廣義相對論里得到了重要的應用。在物理學家愛因斯坦的廣義相對論中的空間幾何就是黎曼幾何。在廣義相對論里，愛因斯坦放棄了關於時空均勻性的觀念，他認為時空只是在充分小的空間里以一種近似性而均勻的，但是整個時空卻是不均勻的。在物理學中的這種解釋，恰恰是和黎曼幾何的觀念是相似的。 此外，黎曼幾何在數學中也是一個重要的工具。它不僅是微分幾何的基礎，也應用在微分方程、變分法和復變函數論等方面。 三種幾何的關系 歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何是三種各有區別的幾何。這三中幾何各自所有的命題都構成了一個嚴密的公理體系，各公理之間滿足和諧性、完備性和獨立性。因此這三種幾何都是正確的。 在我們這個不大不小、不遠不近的空間里，也就是在我們的日常生活中，歐式幾何是適用的；在宇宙空間中或原子核世界，羅氏幾何更符合客觀實際；在地球表面研究航海、航空等實際問題中，黎曼幾何更准確一些。
5. 歐幾里得幾何和非歐幾何本質區別是什麼
非歐幾何學是一門大的數學分支，他有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義式泛指一切和歐幾里的幾何學不同的幾何學，狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來說的，至於通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。
6. 什麼是非歐幾何學
緒論我們通稱的非歐幾何學,實際指的是兩種幾何。一種是俄羅斯數學家尼可拉·伊萬諾維奇·羅巴切夫斯基在1826年發現的幾何,這種幾何一般稱為羅巴切夫斯基幾何,又叫做雙曲幾何。另外的一種是德國數學家,倍耳哈特·黎曼在1854年發現的幾何,一般稱之為黎曼幾何(嚴密的說應當稱為狹義的黎曼幾何),也叫做橢圓幾何。
7. 非歐幾何是什麼
Non-Euclidean geometry 非歐幾里得幾何是一門大的數學分支，一般來講 ，它有廣義、狹義、通常意義這三個方面的不同含義。所謂廣義的非歐幾何是泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學；狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何；至於通常意義的非歐幾何，就是指橢圓幾何學。
8. 非歐幾何
非歐幾何在幾何學里的地位有點類似於牛頓的經典力學在物理中的地位,即它是在某些外部條件的約束下才能成立的理論.比如經典力學在物體進行高速運動時就不適用了,此時應該用相對論去解釋.而經典力學中的絕對時空觀正好就對應了歐氏幾何學中的平整的不變的空間.非歐幾何中的空間是相對的變化的,比如平整的空間可以變成彎曲的,這里又正好對應著愛因斯坦所說的引力使空間扭曲的著名論斷.而物體在進行高速運動時,時間和空間對於它的意義也無法用歐氏幾何學去解釋.於是,非歐幾何才成為愛因斯坦研究其理論時的數學工具之一,例如黎曼幾何.
9. 非歐幾里得幾何不太理解
曲面和平面沒有本質區別，具體要看你處的空間
比如在地球上，日常生活的幾何就是歐式幾何，因為在很小的球面可以近似看成平面。但是，如果把地球縮小成一個乒乓球，你就不會把他當做平面了。
歐式幾何和非歐幾何本身沒有邏輯矛盾，只是適用性不一樣
好比牛頓的經典力學和愛因斯坦的相對論的關系，兩者都正確，只是前者處理常規的低速度問題，後者處理光速問題。
10. 非歐幾何與歐氏幾何區別，適用范圍有什麼不同
一、歐式幾何和非歐幾何的主要區別如下：
1、歐氏幾何的幾何結構是平坦的空間結構背景下考察，而非歐幾何關注彎曲空間下的幾何結構。
2、歐式幾何起源於公元前，而非歐幾何是幾何學發展到新的時代的產物，產生於19世紀20年代。
3、非歐幾何產生於非歐空間，而非歐空間可以理解成扭曲了的歐式空間，它的坐標軸不再是直線，或者坐標軸之間並不正交（即不成90度）。而歐式幾何的坐標軸是直線，坐標軸之間成90度。
4、非歐幾何與歐氏幾何最主要的區別在於公理體系中採用了不同的平行定理。歐式幾何提出平行公理又稱「第五公設」，非歐幾何認為第五公設是不可證明的，並由否定第五公設的其他公理代替第五公設。
二、歐式幾何與非歐幾何的適用范圍
歐氏幾何主要研究平面結構的幾何及立體幾何，非歐幾何是在一個不規則曲面上進行研究。
歐式幾何可以用於研究平面上的幾何，即平面幾何；研究三維空間的歐幾里得幾何，通常叫做立體幾何。
非歐幾何適用於抽象空間的研究，即更一般的空間形式，使幾何的發展進入了一個以抽象為特徵的嶄新階段。非歐幾何學還應用在愛因斯坦發展的廣義相對論。
(10)非歐幾何擴展閱讀
非歐幾何是對傳統歐式幾何的補充和完善，具有非常重大的意義。
其一，隨著非歐幾何的產生，引起了數學家們對幾何基礎的研究，從而從根本上改變了人們的幾何觀念，擴大了幾何學的研究對象，使幾何學的研究對象由圖形的性質進入到抽象空間，即更一般的空間形式，使幾何的發展進入了一個以抽象為特徵的嶄新階段。
可以說，非歐幾何的產生是數學以直觀為基礎的時代進入以理性為基礎的時代的重要標志。
其二，非歐幾何的產生，引起了一些重要數學分支的產生。數學家們圍繞著幾何的基礎問題、幾何的真實性問題或者說幾何的應用可靠性問題等的討論，在完善數學基礎的過程中，相繼出現了一些新的數學分支，如數的概念、分析基礎、數學基礎、數理邏輯等，公理化方法也獲得了進一步的完善。
其三，非歐幾何學的創立為愛因斯坦發展廣義相對論提供了思想基礎和有力工具，而相對論給物理學帶來了一場深刻的革命，動搖了牛頓力學在物理學中的統治地位，使人們對客觀世界的認識產生了質的飛躍。
其四，非歐幾何學使數學哲學的研究進入了一個嶄新的歷史時期。18世紀和19世紀前半期最具影響的康德哲學，它的自然科學基礎支柱之一是歐幾里得空間。康德曾經說過：「歐幾里得幾何是人類心靈內在固有的，因而對於『現實』空間客觀上是合理的。」
非歐幾何的創立，沖破了傳統觀念並破除了千百年來的思想習慣，給康德的唯心主義哲學以有力一擊，使數學從傳統的形而上學的束縛下解放出來。用康托爾的話說「數學的本質在於其自由」。