Ⅰ 随机过程及应用
在概率论概念中，随机过程是随机变量的集合。若一随机系统的样本点是随机函数，则称此函数为样本函数，这一随机系统全部样本函数的集合是一个随机过程。实际应用中，样本函数的一般定义在时间域或者空间域。随机过程的实例如股票和汇率的波动、语音信号、视频信号、体温的变化，反对法随机运动如布朗运动、随机徘徊等等。
设为一概率空间，另设集合T为一指标集合。如果对于所有，均有一随机变量定义于概率空间，则集合为一随机过程。
通常，指标集合T代表时间，以实数或整数表示。以实数形式表示时，随机过程称为连续随机过程；以整数表示时，则为离散随机过程。随机过程中的参数只为分辨同类随机过程中的不同实例，如上文下理不构成误会，通常略去。例如表达单次元布朗运动时，常以表达，但若考虑两同时进行布朗运动的粒子，则会分别以和（或作和）表示。
历史
为了了解金融市场和研究布朗运动，在19世纪后期人们开始研究随机过程。第一个用数学语言描述布朗运动的是数学家Thorvald N. Thiele。 他在1880年发表了第一篇关于布朗运动的文章。随后，在1900年， Louis Bachelier的博士论文“投机理论” 提出了股票和期权市场的随机分析。阿尔伯特·爱因斯坦（在他1905年的一篇论文中）和玛丽安·一维Smoluchowski（1906年）从物理界的角度出发，把它作为了一种间接证明了原子和分子的存在。他们所描述的布朗运动方程在1908年被让·佩兰核实。
从爱因斯坦的文章的摘录描述了随机模型的基本原理：
"它必须明确假定每个单个颗粒执行的运动是独立于所有其他的粒子的运动;它也将被认为是1的动作和相同的颗粒在不同的时间间隔是独立的过程，只要这些的时间间隔不是非常小"
"我们引入一时间间隔蛋白考虑，相对来说这是非常小的，但是我们可观察到的时间间隔，仍然过大，在两个连续时间间隔蛋白，由粒子所执行的动作可以被认为是作为彼此独立的事件"。
Ⅱ 判断下面两个随机过程是否为布朗运动
1，W(t)=0；
2，独败或中立增量：[W(t+s)-W(t)] 和 [W(t)-W(t-s)]是独立的，并且[W(t+s)-W(t)]～Normal(0,sqrt(s));
3，稳定增量：[W(t)-W(s)] 和 W(t-s)的概察山率分配是一团如样的
Ⅲ 证券价格服从漂移参数0.05，波动参数0.3的几何布朗运动，当前价格为95，利率是4% 假设有种
后答案上默认为这个概率等于P［ln(S(0.5)／
Ⅳ 布朗运动的金融数学
将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。迄今，普遍的观点仍认为，股票市场是随机波动的，随机波动是股票市场最根本的特性，是股票市场的常态。
布朗运动假设是现代资本市场理论的核心假设。现代资本市场理论认为证券期货价格具有随机性特征。这里的所谓随机性，是指数据的无记忆性，即过去数据不构成对未来数据的预测基础。同时不会出现惊人相似的反复。随机现象的数学定义是：在个别试验中其结果呈现出不确定性；在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。描述股价行为模型之一的布朗运动之维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊形式；而马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程。随机过程是建立在概率空间上的概率模型，被认为是概率论的动力学，即它的研究对象是随时间演变的随机现象。所以随机行为是一种具有统计规律性的行为。股价行为模型通常用著名的维纳过程来表达。假定股票价格遵循一般化的维纳过程是很具诱惑力的，也就是说，它具有不变的期望漂移率和方差率。维纳过程说明只有变量的当前值与未来的预测有关，变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式则与未来的预测不相关。股价的马尔科夫性质与弱型市场有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是说，一种股票的现价已经包含了所有信息，当然包括了所有过去的价格记录。但是当人们开始采用分形理论研究金融市场时，发现它的运行并不遵循布朗运动，而是服从更为一般的几何布朗运动（geometric browmrian motion）。
Ⅳ 判断下面两个随机过程是否为布朗运动
第一个毕简晌碧 X(0)=0 符合条件1 分别求X(t)-X(s)的期望和方差 期望是0 但是方差不是t-s 而是手谨裤t+s 所以不是布朗运动 第二个套定义 应该是布朗运动
Ⅵ 几何布朗运动的在金融中的应用
主条目：布莱克-舒尔斯模型
几何布朗运动在布莱克-舒尔斯定价模型被用来定性股票价格，因而也是最常用的描述股票价格的模型 。
使用几何布朗运动来描述股票价格的理由: 几何布朗运动的期望与随机过程的价格（股票价格）是独立的, 这与我们对现实市场的期望是相符的 。 几何布朗运动过程只考虑为正值的价格, 就像真实的股票价格。 几何布朗运动过程与我们在股票市场观察到的价格轨迹呈现了同样的“roughness” 。 几何布朗运动过程计算相对简单。. 然而，几何布朗运动并不完全现实，尤其存在一下缺陷: 在真实股票价格中波动随时间变化 (possiblystochastically), 但是在几何布朗运动中, 波动是不随时间变化的。 在真实股票价格中, 收益通常不服从正态分布 (真实股票收益有更高的峰度('fatter tails'), 代表了有可能形成更大的价格波动).
Ⅶ 在金融市场上，如何利用随机过程和蒙特卡罗模拟方法进行风险管理
随机过程和蒙特卡罗模拟方法在金融市场中是广泛应用的风险管理工具。下面是一些利用这些工具进行风险管理的示例：
随机过程用于建立金融市场模型，这些模型可以用来预测未来价格走势。例如，布朗运动是一种常用的随机过程，它可以用于建立股票价格模型。通过对这些模型进行仿真，可以估计不同情况下的收益分布，从而帮助投资者制定风险管理策略。
蒙特卡罗模拟方法用于模拟各种情况下的收益分布。通过模拟大量的随机变量，可以计算出不同投资组合在未来可岩滑能获得的收益，从而评估风险水平。例如，可以通过蒙特卡罗模拟来评估投资组合的价值在未来1年内可能的最大亏损额。
随机过程和蒙特卡罗模拟方法可以结合使用，帮助投资者估计不同投资策略的收益和风险水平。例如，帆枣陪可以建立一个包含多种投资组合的模型，通过蒙特卡罗模拟来估计不同组合的预期收益和风险水平，然后根据这些估计结果态蠢选择最优的投资组合。
总之，随机过程和蒙特卡罗模拟方法是重要的金融风险管理工具，它们可以帮助投资者评估投资策略的风险和收益，并制定相应的风险管理策略。
Ⅷ 如何系统地学习随机过程
随肆岁机过程在金数上的确是所有定价模型的基础。除了永久固定利息的之外，每个资产价格的变化都是随机的，所以理论上来说，这一变化过程可以通过某一系列的随机变量表示。但是我们目前橘族并不知道这些随机变量的变化有什么规律，因此，应用随机过程并不能完全模拟价格的变化，但却是一个圆雹弊折衷的办法可以把不规律的随机过程简化为规律的随机过程，希望能概括所有的大概率事件。
最基础的随机过程即布朗运动，简单的说是一系列独立的标准正态分布（即i.i.d)之和。概率知识告诉我们，i.i.d之和还是正态分布。John Hull的Options, Futures and Other Derivatives 对布朗运动有比较系统的说明，但是对于很多概念性的小细节，则需要结合概率的知识去理解，比如正态和对数正态分布的概念，性质和分布图，比如正态分布的期望和方差，对比对数正态分布的期望和方差形式上有何不同，是否对称？算术布朗运动（arithmetic brownian motion)和几何布朗运动(geometric brownian motion)在金数中最为常见，前者比后者更容易理解，所以一般把后者转换为对数形式后，就形同与前者可以理解了。前者是正态分布，而后者为对数正态分布，即其对数为正态分部。需要注意的是，价格的对数形式之差即为几何增长率，意味着若股票价格是几何布朗运动则其几何增长率呈正态分布。
Ⅸ ssc在数学中公式
本系列的前篇从布朗运动出发，介绍了布朗运动的性质并解释了为什么使用几何布朗运动来描述股价是被投资界广泛接受的。此外，前文给出了伊藤引理的最基本形式，它是随机分析的基础，为分析衍生品定价提供了坚实的武器。
作为本系列的后篇，本文将从扩展伊藤引理出发，并用它求解几何布朗运动，然后推导 BS 微分方程以及 BS 公式（也称 Black-Scholes-Merton 公式）。在介绍 BS 公式时，论述的重点会放在衍生品定价中的一个核心方法，即风险中性定价理论。此外，我们会花一定的笔墨来解释 BS 公式中的两个核心要素（即 N(d_1) 和 N(d_2) 的业务含义），明白它们对理解 BS 公式至关重要。
阅读提示：下文中将涉及大量数学公式，对阅读体验造成影响，我们表示歉意。我们当然不是在写学术论文，但是必要的数学推导对于理解期权定价模型至关重要。如果你对阅读大数学实在不感兴趣，可以跳过第二、三两节，从第四节开始看。
在那之前，先来点轻松的，看看 Black，Scholes 和 Merton 三位大咖长什么样子。Scholes 和 Merton 因在衍生品定价方面的杰出工作于 1997 年获得诺贝尔经济学奖。Black 没有在列的原因是他不幸地于 1995 年去世，而诺贝尔奖不追授给颁奖时已故 6 个月以上的学者。
2 伊藤引理的一般形式
在前篇中，我们介绍了带有漂移（drift）和扩散（diffusion）的布朗运动有如下形式的随机微分方程。在这里，μ 和 σ 被假定为常数。
更一般的，漂移和扩散的参数均可以是随机过程 X(t) 以及时间 t 的函数。假设我们令 a(X(t),t) 和 b(X(t),t) 表示漂移和扩散参数（则在上面这个例子中，a(X(t),t) = μ 而 b(X(t),t) = σ）。我们称满足如下随机微分方程（stochastic differential equation，或 SDE）的随机过程为伊藤漂移扩散过程（Itō drift-diffusion process，下称伊藤过程）：
令 f(X(t), t) 为 X(t) 的二阶连续可导函数（并对 t 一阶可导），由伊藤引理可知（省略自变量以简化表达）：
将 dX = a(X(t),t)dt + b(X(t),t)dB 带入上式，并且略去所有比 dt 更高阶的小量，最终可以得到伊藤引理的一般形式：
由 f 的 SDE 可知，作为 X 和 t 的函数，f 本身也是一个伊藤过程。更重要的是，伊藤引理说明，df 表达式右侧的布朗运动 dB 恰恰正是 dX 表达式中的那个布朗运动。换句话说，在 f 和 X 的随机性由同一个布朗运动决定，而非两个独立的布朗运动。这一点在下文中推导 BS 微分方程时至关重要。
下面我们就利用伊藤引理求解几何布朗运动。
3 几何布朗运动求解
对于股票价格 S，可以用满足如下 SDE 的几何布朗运动来描述。
上式中 μ 是股票的期望年收益率，σ 是股票年收益率的标准差。显然，这是一个伊藤过程（a = μS，b = σS）。为了求解 S，令 f = lnS（S 的自然对数）并对 df 使用伊藤引理（注：为了保持符号和前篇的一致性，我们用 S 而非 X 代表股票价格的随机过程）得到 lnS 的 SDE：
这个式子说明，lnS 是一个带漂移的布朗运动，它的漂移率为 μ – 0.5σ^2，波动率为 σ。由布朗运动的性质可知，在任何时间 T，lnS 的变化符合正态分布：
如果一个随机变量的对数满足正态分布，我们说这个随机变量本身满足对数正态分布（lognormal distribution）。因此，当我们用几何布朗运动来描述股价波动时，得到的股价满足对数正态分布。
通过对 lnS 的 SDE 两边积分，再对等式两边取指数，便可很容易的写出股价随时间变化的解析式：
上式乍一看好像有悖于我们的直觉。我们已知股票的年收益率期望为 μ。但在上式中，抛开 B(T) 带来的随机性不谈而仅看时间 T 的系数，股价的增长速率是 μ – 0.5σ^2 而不是 μ。这意味着什么呢？数值 μ – 0.5σ^2 又是否是什么别的收益率呢？
正确答案是，μ – 0.5σ^2 恰恰是股票每年的连续复利期望收益率。利用股价 S 的对数正态特性可以说明这一点。假设 x 代表股票每年的连续复利收益率。因此有 S(T) = S(0)e^(xT)，或 x = (1/T)×(lnS(T) - lnS(0))。由上面的分析可知，lnS(T) – lnS(0) 符合均值为 (μ – 0.5σ^2)T、方差为 (σ^2)T 的正态分布。因此每年的连续复利收益率 x 也是正态分布并且满足：
直观比较股票的每年期望收益率 μ 和每年连续复利期望收益率 μ – 0.5σ^2，后者考虑了波动 σ，它们的区别就是年收益率序列算数平均值和几何平均值的区别。
来看一个例子。假设某股票在过去五年的年收益率分别为 15%，20%，30%，-20% 和 25%。这个序列的算数平均值为 14%，因此该股票的每年的（样本）期望收益率 μ = 14%。再来看看它每年连续复利期望收益率是多少。假设我们在五年前花 100 块买入它并持有 5 年，那么在 5 年后我们的回报是 100×1.15×1.20×1.30×0.80×1.25 = 179.4。因此每年（样本）连续复利期望收益率（即这个收益率序列的几何平均值）为 12.4%，显然它低于算数平均值
Ⅹ 怎样求解布朗运动的期望和方差
怎样求解布朗运动的期望和方差
布朗运动（Brownian motion）是一种正态分布的独立增量连续随机过程。它是随机分析中基本概念之一。其基本性质为：布朗运动W（t）是期望为0方差为t（时间）的正态随机变量。对于任意的r小于等于s，W（t）-W（s）独立于的W（r），且是期望为0方差为t-s的正态随机变量。可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。