1. 什么是欧式几何和非欧几何
要说到几何，大多数人便会想到运用并流传了几千年的欧式几何，这是毋庸置疑的。欧式几何在我们的生活中运用太广泛了。从我们开始接触几何问题，和我们生活中所接触到的一些几何问题大部分都是欧式几何。欧式几何是几何学的一门分科。又称欧几里德几何。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。欧式几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。欧式几何共有五条公理，其中前四个都是可以通过各种方法来证明的，并被众人接受。唯有公理5使许多人不能被理解所接受 。于是由此问题，我们又有了一个巨大的发现，也是人类历史上的重大转变。那就是非欧几何的出现。欧式几何所能解决的只限于平面，从而伟大的第五公理就这样在非欧几何中得证。
1826年2月23日，罗巴切夫斯基于喀山大学物理数学系学术会议上，宣读了他的第一篇关于非欧几何的论文：《几何学原理及平行线定理严格证明的摘要》。这篇首创性论文的问世，标志着非欧几何的诞生。
它不仅仅是解决了人们长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。非欧几何更是人类认识史上一个富有创造性的伟大成果，它的创立，不仅带来了近百年来数学的巨大进步，而且对现代物理学、天文学以及人类时空观念的变革都产生了深远的影响。
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2. 非欧几何的作用
欧氏几何研究的是“平直”的几何物体，比如直线、平面等等。它的研究背景空间当然是最平直的欧氏空间 非欧几何则是研究“弯曲”的空间。在整个宇宙中， 实际上是没有真正“平直”的几何物体的，而只有弯曲物体。欧氏几何只是一种理想化的模型。 因此非欧几何才是研究物理世界的最准确的几何模型。
非欧几何的重要作用之一就是为广义相对论提供了最有效的数学基础，揭示了引力和空间扭曲的几何性质之间的关系。
3. 非欧几何是什么
欧式几何指的是欧几里得几何，就是我们所学的，也叫做平面几何。非欧几何有很多种，包括黎曼几何和罗氏几何等等。也可以建立坐标，但是意义可能与欧式几何中有差别，而且很多性质将不再成立。
4. 非欧几何指的是什么
非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲 ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。 欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。 因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。 但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论： 第一，第五公设不能被证明。 第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。 这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。 从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。 几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式发表了研究结果。 那个时代被誉为“数学王子”的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。 罗氏几何 罗氏几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。 我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。下面举几个例子加以说明： 欧式几何 同一直线的垂线和斜线相交。 垂直于同一直线的两条直线互相平行。 存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。 罗氏几何 同一直线的垂线和斜线不一定相交。 垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。 不存在相似的多边形。 过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。 从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。所以罗氏几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样容易被接受。但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。 1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。 人们既然承认欧几里得是没有矛盾的，所以也就自然承认非欧几何没有矛盾了。直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。 黎曼几何 欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。 黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。 黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。 近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。 此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。 三种几何的关系 欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因此这三种几何都是正确的。 在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
5. 欧几里得几何和非欧几何本质区别是什么
非欧几何学是一门大的数学分支，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。
6. 什么是非欧几何学
绪论我们通称的非欧几何学,实际指的是两种几何。一种是俄罗斯数学家尼可拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基在1826年发现的几何,这种几何一般称为罗巴切夫斯基几何,又叫做双曲几何。另外的一种是德国数学家,倍耳哈特·黎曼在1854年发现的几何,一般称之为黎曼几何(严密的说应当称为狭义的黎曼几何),也叫做椭圆几何。
7. 非欧几何是什么
Non-Euclidean geometry 非欧几里得几何是一门大的数学分支，一般来讲 ，它有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义的非欧几何是泛指一切和欧几里得几何不同的几何学；狭义的非欧几何只是指罗氏几何；至于通常意义的非欧几何，就是指椭圆几何学。
8. 非欧几何
非欧几何在几何学里的地位有点类似于牛顿的经典力学在物理中的地位,即它是在某些外部条件的约束下才能成立的理论.比如经典力学在物体进行高速运动时就不适用了,此时应该用相对论去解释.而经典力学中的绝对时空观正好就对应了欧氏几何学中的平整的不变的空间.非欧几何中的空间是相对的变化的,比如平整的空间可以变成弯曲的,这里又正好对应着爱因斯坦所说的引力使空间扭曲的著名论断.而物体在进行高速运动时,时间和空间对于它的意义也无法用欧氏几何学去解释.于是,非欧几何才成为爱因斯坦研究其理论时的数学工具之一,例如黎曼几何.
9. 非欧几里得几何不太理解
曲面和平面没有本质区别，具体要看你处的空间
比如在地球上，日常生活的几何就是欧式几何，因为在很小的球面可以近似看成平面。但是，如果把地球缩小成一个乒乓球，你就不会把他当做平面了。
欧式几何和非欧几何本身没有逻辑矛盾，只是适用性不一样
好比牛顿的经典力学和爱因斯坦的相对论的关系，两者都正确，只是前者处理常规的低速度问题，后者处理光速问题。
10. 非欧几何与欧氏几何区别，适用范围有什么不同
一、欧式几何和非欧几何的主要区别如下：
1、欧氏几何的几何结构是平坦的空间结构背景下考察，而非欧几何关注弯曲空间下的几何结构。
2、欧式几何起源于公元前，而非欧几何是几何学发展到新的时代的产物，产生于19世纪20年代。
3、非欧几何产生于非欧空间，而非欧空间可以理解成扭曲了的欧式空间，它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不正交（即不成90度）。而欧式几何的坐标轴是直线，坐标轴之间成90度。
4、非欧几何与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行定理。欧式几何提出平行公理又称“第五公设”，非欧几何认为第五公设是不可证明的，并由否定第五公设的其他公理代替第五公设。
二、欧式几何与非欧几何的适用范围
欧氏几何主要研究平面结构的几何及立体几何，非欧几何是在一个不规则曲面上进行研究。
欧式几何可以用于研究平面上的几何，即平面几何；研究三维空间的欧几里得几何，通常叫做立体几何。
非欧几何适用于抽象空间的研究，即更一般的空间形式，使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段。非欧几何学还应用在爱因斯坦发展的广义相对论。
(10)非欧几何扩展阅读
非欧几何是对传统欧式几何的补充和完善，具有非常重大的意义。
其一，随着非欧几何的产生，引起了数学家们对几何基础的研究，从而从根本上改变了人们的几何观念，扩大了几何学的研究对象，使几何学的研究对象由图形的性质进入到抽象空间，即更一般的空间形式，使几何的发展进入了一个以抽象为特征的崭新阶段。
可以说，非欧几何的产生是数学以直观为基础的时代进入以理性为基础的时代的重要标志。
其二，非欧几何的产生，引起了一些重要数学分支的产生。数学家们围绕着几何的基础问题、几何的真实性问题或者说几何的应用可靠性问题等的讨论，在完善数学基础的过程中，相继出现了一些新的数学分支，如数的概念、分析基础、数学基础、数理逻辑等，公理化方法也获得了进一步的完善。
其三，非欧几何学的创立为爱因斯坦发展广义相对论提供了思想基础和有力工具，而相对论给物理学带来了一场深刻的革命，动摇了牛顿力学在物理学中的统治地位，使人们对客观世界的认识产生了质的飞跃。
其四，非欧几何学使数学哲学的研究进入了一个崭新的历史时期。18世纪和19世纪前半期最具影响的康德哲学，它的自然科学基础支柱之一是欧几里得空间。康德曾经说过：“欧几里得几何是人类心灵内在固有的，因而对于‘现实’空间客观上是合理的。”
非欧几何的创立，冲破了传统观念并破除了千百年来的思想习惯，给康德的唯心主义哲学以有力一击，使数学从传统的形而上学的束缚下解放出来。用康托尔的话说“数学的本质在于其自由”。