Ⅰ 隨機過程及應用
在概率論概念中，隨機過程是隨機變數的集合。若一隨機系統的樣本點是隨機函數，則稱此函數為樣本函數，這一隨機系統全部樣本函數的集合是一個隨機過程。實際應用中，樣本函數的一般定義在時間域或者空間域。隨機過程的實例如股票和匯率的波動、語音信號、視頻信號、體溫的變化，反對法隨機運動如布朗運動、隨機徘徊等等。
設為一概率空間，另設集合T為一指標集合。如果對於所有，均有一隨機變數定義於概率空間，則集合為一隨機過程。
通常，指標集合T代表時間，以實數或整數表示。以實數形式表示時，隨機過程稱為連續隨機過程；以整數表示時，則為離散隨機過程。隨機過程中的參數只為分辨同類隨機過程中的不同實例，如上文下理不構成誤會，通常略去。例如表達單次元布朗運動時，常以表達，但若考慮兩同時進行布朗運動的粒子，則會分別以和（或作和）表示。
歷史
為了了解金融市場和研究布朗運動，在19世紀後期人們開始研究隨機過程。第一個用數學語言描述布朗運動的是數學家Thorvald N. Thiele。 他在1880年發表了第一篇關於布朗運動的文章。隨後，在1900年， Louis Bachelier的博士論文「投機理論」 提出了股票和期權市場的隨機分析。阿爾伯特·愛因斯坦（在他1905年的一篇論文中）和瑪麗安·一維Smoluchowski（1906年）從物理界的角度出發，把它作為了一種間接證明了原子和分子的存在。他們所描述的布朗運動方程在1908年被讓·佩蘭核實。
從愛因斯坦的文章的摘錄描述了隨機模型的基本原理：
"它必須明確假定每個單個顆粒執行的運動是獨立於所有其他的粒子的運動;它也將被認為是1的動作和相同的顆粒在不同的時間間隔是獨立的過程，只要這些的時間間隔不是非常小"
"我們引入一時間間隔蛋白考慮，相對來說這是非常小的，但是我們可觀察到的時間間隔，仍然過大，在兩個連續時間間隔蛋白，由粒子所執行的動作可以被認為是作為彼此獨立的事件"。
Ⅱ 判斷下面兩個隨機過程是否為布朗運動
1，W(t)=0；
2，獨敗或中立增量：[W(t+s)-W(t)] 和 [W(t)-W(t-s)]是獨立的，並且[W(t+s)-W(t)]～Normal(0,sqrt(s));
3，穩定增量：[W(t)-W(s)] 和 W(t-s)的概察山率分配是一團如樣的
Ⅲ 證券價格服從漂移參數0.05，波動參數0.3的幾何布朗運動，當前價格為95，利率是4% 假設有種
後答案上默認為這個概率等於P［ln(S(0.5)／
Ⅳ 布朗運動的金融數學
將布朗運動與股票價格行為聯系在一起，進而建立起維納過程的數學模型是本世紀的一項具有重要意義的金融創新，在現代金融數學中佔有重要地位。迄今，普遍的觀點仍認為，股票市場是隨機波動的，隨機波動是股票市場最根本的特性，是股票市場的常態。
布朗運動假設是現代資本市場理論的核心假設。現代資本市場理論認為證券期貨價格具有隨機性特徵。這里的所謂隨機性，是指數據的無記憶性，即過去數據不構成對未來數據的預測基礎。同時不會出現驚人相似的反復。隨機現象的數學定義是：在個別試驗中其結果呈現出不確定性；在大量重復試驗中其結果又具有統計規律性的現象。描述股價行為模型之一的布朗運動之維納過程是馬爾科夫隨機過程的一種特殊形式；而馬爾科夫過程是一種特殊類型的隨機過程。隨機過程是建立在概率空間上的概率模型，被認為是概率論的動力學，即它的研究對象是隨時間演變的隨機現象。所以隨機行為是一種具有統計規律性的行為。股價行為模型通常用著名的維納過程來表達。假定股票價格遵循一般化的維納過程是很具誘惑力的，也就是說，它具有不變的期望漂移率和方差率。維納過程說明只有變數的當前值與未來的預測有關，變數過去的歷史和變數從過去到現在的演變方式則與未來的預測不相關。股價的馬爾科夫性質與弱型市場有效性(the weak form of market efficiency)相一致，也就是說，一種股票的現價已經包含了所有信息，當然包括了所有過去的價格記錄。但是當人們開始採用分形理論研究金融市場時，發現它的運行並不遵循布朗運動，而是服從更為一般的幾何布朗運動（geometric browmrian motion）。
Ⅳ 判斷下面兩個隨機過程是否為布朗運動
第一個畢簡晌碧 X(0)=0 符合條件1 分別求X(t)-X(s)的期望和方差 期望是0 但是方差不是t-s 而是手謹褲t+s 所以不是布朗運動 第二個套定義 應該是布朗運動
Ⅵ 幾何布朗運動的在金融中的應用
主條目：布萊克-舒爾斯模型
幾何布朗運動在布萊克-舒爾斯定價模型被用來定性股票價格，因而也是最常用的描述股票價格的模型 。
使用幾何布朗運動來描述股票價格的理由: 幾何布朗運動的期望與隨機過程的價格（股票價格）是獨立的, 這與我們對現實市場的期望是相符的 。 幾何布朗運動過程只考慮為正值的價格, 就像真實的股票價格。 幾何布朗運動過程與我們在股票市場觀察到的價格軌跡呈現了同樣的「roughness」 。 幾何布朗運動過程計算相對簡單。. 然而，幾何布朗運動並不完全現實，尤其存在一下缺陷: 在真實股票價格中波動隨時間變化 (possiblystochastically), 但是在幾何布朗運動中, 波動是不隨時間變化的。 在真實股票價格中, 收益通常不服從正態分布 (真實股票收益有更高的峰度('fatter tails'), 代表了有可能形成更大的價格波動).
Ⅶ 在金融市場上，如何利用隨機過程和蒙特卡羅模擬方法進行風險管理
隨機過程和蒙特卡羅模擬方法在金融市場中是廣泛應用的風險管理工具。下面是一些利用這些工具進行風險管理的示例：
隨機過程用於建立金融市場模型，這些模型可以用來預測未來價格走勢。例如，布朗運動是一種常用的隨機過程，它可以用於建立股票價格模型。通過對這些模型進行模擬，可以估計不同情況下的收益分布，從而幫助投資者制定風險管理策略。
蒙特卡羅模擬方法用於模擬各種情況下的收益分布。通過模擬大量的隨機變數，可以計算出不同投資組合在未來可岩滑能獲得的收益，從而評估風險水平。例如，可以通過蒙特卡羅模擬來評估投資組合的價值在未來1年內可能的最大虧損額。
隨機過程和蒙特卡羅模擬方法可以結合使用，幫助投資者估計不同投資策略的收益和風險水平。例如，帆棗陪可以建立一個包含多種投資組合的模型，通過蒙特卡羅模擬來估計不同組合的預期收益和風險水平，然後根據這些估計結果態蠢選擇最優的投資組合。
總之，隨機過程和蒙特卡羅模擬方法是重要的金融風險管理工具，它們可以幫助投資者評估投資策略的風險和收益，並制定相應的風險管理策略。
Ⅷ 如何系統地學習隨機過程
隨肆歲機過程在金數上的確是所有定價模型的基礎。除了永久固定利息的之外，每個資產價格的變化都是隨機的，所以理論上來說，這一變化過程可以通過某一系列的隨機變數表示。但是我們目前橘族並不知道這些隨機變數的變化有什麼規律，因此，應用隨機過程並不能完全模擬價格的變化，但卻是一個圓雹弊折衷的辦法可以把不規律的隨機過程簡化為規律的隨機過程，希望能概括所有的大概率事件。
最基礎的隨機過程即布朗運動，簡單的說是一系列獨立的標准正態分布（即i.i.d)之和。概率知識告訴我們，i.i.d之和還是正態分布。John Hull的Options, Futures and Other Derivatives 對布朗運動有比較系統的說明，但是對於很多概念性的小細節，則需要結合概率的知識去理解，比如正態和對數正態分布的概念，性質和分布圖，比如正態分布的期望和方差，對比對數正態分布的期望和方差形式上有何不同，是否對稱？算術布朗運動（arithmetic brownian motion)和幾何布朗運動(geometric brownian motion)在金數中最為常見，前者比後者更容易理解，所以一般把後者轉換為對數形式後，就形同與前者可以理解了。前者是正態分布，而後者為對數正態分布，即其對數為正態分部。需要注意的是，價格的對數形式之差即為幾何增長率，意味著若股票價格是幾何布朗運動則其幾何增長率呈正態分布。
Ⅸ ssc在數學中公式
本系列的前篇從布朗運動出發，介紹了布朗運動的性質並解釋了為什麼使用幾何布朗運動來描述股價是被投資界廣泛接受的。此外，前文給出了伊藤引理的最基本形式，它是隨機分析的基礎，為分析衍生品定價提供了堅實的武器。
作為本系列的後篇，本文將從擴展伊藤引理出發，並用它求解幾何布朗運動，然後推導 BS 微分方程以及 BS 公式（也稱 Black-Scholes-Merton 公式）。在介紹 BS 公式時，論述的重點會放在衍生品定價中的一個核心方法，即風險中性定價理論。此外，我們會花一定的筆墨來解釋 BS 公式中的兩個核心要素（即 N(d_1) 和 N(d_2) 的業務含義），明白它們對理解 BS 公式至關重要。
閱讀提示：下文中將涉及大量數學公式，對閱讀體驗造成影響，我們表示歉意。我們當然不是在寫學術論文，但是必要的數學推導對於理解期權定價模型至關重要。如果你對閱讀大數學實在不感興趣，可以跳過第二、三兩節，從第四節開始看。
在那之前，先來點輕松的，看看 Black，Scholes 和 Merton 三位大咖長什麼樣子。Scholes 和 Merton 因在衍生品定價方面的傑出工作於 1997 年獲得諾貝爾經濟學獎。Black 沒有在列的原因是他不幸地於 1995 年去世，而諾貝爾獎不追授給頒獎時已故 6 個月以上的學者。
2 伊藤引理的一般形式
在前篇中，我們介紹了帶有漂移（drift）和擴散（diffusion）的布朗運動有如下形式的隨機微分方程。在這里，μ 和 σ 被假定為常數。
更一般的，漂移和擴散的參數均可以是隨機過程 X(t) 以及時間 t 的函數。假設我們令 a(X(t),t) 和 b(X(t),t) 表示漂移和擴散參數（則在上面這個例子中，a(X(t),t) = μ 而 b(X(t),t) = σ）。我們稱滿足如下隨機微分方程（stochastic differential equation，或 SDE）的隨機過程為伊藤漂移擴散過程（Itō drift-diffusion process，下稱伊藤過程）：
令 f(X(t), t) 為 X(t) 的二階連續可導函數（並對 t 一階可導），由伊藤引理可知（省略自變數以簡化表達）：
將 dX = a(X(t),t)dt + b(X(t),t)dB 帶入上式，並且略去所有比 dt 更高階的小量，最終可以得到伊藤引理的一般形式：
由 f 的 SDE 可知，作為 X 和 t 的函數，f 本身也是一個伊藤過程。更重要的是，伊藤引理說明，df 表達式右側的布朗運動 dB 恰恰正是 dX 表達式中的那個布朗運動。換句話說，在 f 和 X 的隨機性由同一個布朗運動決定，而非兩個獨立的布朗運動。這一點在下文中推導 BS 微分方程時至關重要。
下面我們就利用伊藤引理求解幾何布朗運動。
3 幾何布朗運動求解
對於股票價格 S，可以用滿足如下 SDE 的幾何布朗運動來描述。
上式中 μ 是股票的期望年收益率，σ 是股票年收益率的標准差。顯然，這是一個伊藤過程（a = μS，b = σS）。為了求解 S，令 f = lnS（S 的自然對數）並對 df 使用伊藤引理（註：為了保持符號和前篇的一致性，我們用 S 而非 X 代表股票價格的隨機過程）得到 lnS 的 SDE：
這個式子說明，lnS 是一個帶漂移的布朗運動，它的漂移率為 μ – 0.5σ^2，波動率為 σ。由布朗運動的性質可知，在任何時間 T，lnS 的變化符合正態分布：
如果一個隨機變數的對數滿足正態分布，我們說這個隨機變數本身滿足對數正態分布（lognormal distribution）。因此，當我們用幾何布朗運動來描述股價波動時，得到的股價滿足對數正態分布。
通過對 lnS 的 SDE 兩邊積分，再對等式兩邊取指數，便可很容易的寫出股價隨時間變化的解析式：
上式乍一看好像有悖於我們的直覺。我們已知股票的年收益率期望為 μ。但在上式中，拋開 B(T) 帶來的隨機性不談而僅看時間 T 的系數，股價的增長速率是 μ – 0.5σ^2 而不是 μ。這意味著什麼呢？數值 μ – 0.5σ^2 又是否是什麼別的收益率呢？
正確答案是，μ – 0.5σ^2 恰恰是股票每年的連續復利期望收益率。利用股價 S 的對數正態特性可以說明這一點。假設 x 代表股票每年的連續復利收益率。因此有 S(T) = S(0)e^(xT)，或 x = (1/T)×(lnS(T) - lnS(0))。由上面的分析可知，lnS(T) – lnS(0) 符合均值為 (μ – 0.5σ^2)T、方差為 (σ^2)T 的正態分布。因此每年的連續復利收益率 x 也是正態分布並且滿足：
直觀比較股票的每年期望收益率 μ 和每年連續復利期望收益率 μ – 0.5σ^2，後者考慮了波動 σ，它們的區別就是年收益率序列算數平均值和幾何平均值的區別。
來看一個例子。假設某股票在過去五年的年收益率分別為 15%，20%，30%，-20% 和 25%。這個序列的算數平均值為 14%，因此該股票的每年的（樣本）期望收益率 μ = 14%。再來看看它每年連續復利期望收益率是多少。假設我們在五年前花 100 塊買入它並持有 5 年，那麼在 5 年後我們的回報是 100×1.15×1.20×1.30×0.80×1.25 = 179.4。因此每年（樣本）連續復利期望收益率（即這個收益率序列的幾何平均值）為 12.4%，顯然它低於算數平均值
Ⅹ 怎樣求解布朗運動的期望和方差
怎樣求解布朗運動的期望和方差
布朗運動（Brownian motion）是一種正態分布的獨立增量連續隨機過程。它是隨機分析中基本概念之一。其基本性質為：布朗運動W（t）是期望為0方差為t（時間）的正態隨機變數。對於任意的r小於等於s，W（t）-W（s）獨立於的W（r），且是期望為0方差為t-s的正態隨機變數。可以證明布朗運動是馬爾可夫過程、鞅過程和伊藤過程。